广东省广州大学附中大学城校区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州大学附中大学城校区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（）
三角形的稳定性
四边形的不稳定性
两点之间线段最短
长方形的四个角都是直角
下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
下列计算正确的是（）
A. 4a2  2a2  6a4
C. a6  a2  a3
B. 5a  2a  10a
D. a2 2  a4
如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 且与 BC 相交于点 D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C 的度数是
（）
A. 70°
B. 80°
C. 100°
D. 110°
一个不等边三角形的两边长分别为 3 和 5，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（）
2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
如图，已知V ABC 与 DEF ， B，E，C，D 四点在同一条直线上，其中 AB  DF ， BC  EF ，
AC  DE ，则ACB 等于（）
EFD
ABC
2D
1 AFE
2
如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则1为()
A. 32B. 36C. 40D. 42
在平面直角坐标系中，已知点 Aa  1, 1 和点 B 2, a 1 且直线 AB ∥ x 轴，则点a  2, a 1 位于
（）
第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
如图，直线 AP 平分BAD ，CP 平分BCD 的外角BCE ，则P 与B 、D 的数量关系是（）
A. 2P  B  D  180B. 2P  B  D  180
C. 2P  B  D  180D. 2P  B  D  360
如图，在V ABC 中，BAC 和ABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O， AE 交 BC 于 E， BF 交 AC
于 F，过点 O 作OD 
BC 于 D，下列三个结论：① AOB  90  1 C ；②当C  60时，
2
AF BE AB ；③若OD a ， AB BC CA 2b ，则 S ABC ab ．其中正确的个数是（ ）

A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 0 个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
如图，把图中1 、2 、3 按由小到大的顺序排列为．
某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素 笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本 3 元，碳素笔每支 2 元，共花费 28 元，则共有 种购买方案．
已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是.
已知V ABC 三边长均为整数，且周长为偶数，若 AC  BC  5 ．则边长 AB 的最小值是．
已知等腰V ABC 中． AB  AC ，两腰的垂直平分线交于点 P ，已知BPC  100 ，则等腰三角形的顶角为．
如图，BD 是等腰V ABC 的角平分线， AB  AC  6 ，BC  8 ，E 为线段 BD（端点除外）上的动点，
连接 AE ，作EAF  BAC ，且 AE  AF ，连接 DF ，当△ADF 的周长最小时，则 AF 的值是．
DF
三、解答题（本大题共 7 小题，满分 0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

5x  2  3 x 1①

解不等式组 1 x 1  7  3 x② ，并把解集在数轴上表示出来．
 22
已知：如图，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上， AB  DE ， AC  DF ， BE  CF ．
（1）求证： A  D ；
（2）若 BF  13 ， EC  7 ，则 BC 的长为．
b  5
已知 a、b、c 为V ABC 的三边长，且 b、c 满足
c  72  0 ，a 为方程 a  3  2 的解，求V ABC
的周长．
在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A ，C 的坐标分别是(-4 ，6) ，(-1，4) ．
请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；并直接写出 A1B1C1 的坐标. (3)请在 y 轴上求作一点 P ，使△PB1C 的周长最小，
（1）如图 1，已知，在类似“伞形图”中． AM  AN ， DM  DN ．求证： AMD  AND ．
（2）如图 2，在AMC 中，MAC 的平分线 AD 交 MC 于点 D ．请你从以下两个条件：①AMD  2C ；
② AC  AM  MD 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
在数轴上互不重合的四个点 A，B，M，N，如果 MA  2NB 或 MB  2NA，那么点 M，N 叫做 A，B
两点的“2 伴点”．
已知点 A，B 在数轴上表示的数分别为 a，b，且满足| a  b |  | b  4 | 0 ．
（1）填空： a ， b ；
若点 M 表示的数为 2，点 N 在原点右侧，且点 M，N 为点 A，B 的“2 伴点”，求点 N 表示的数；
如图，已知点 O 表示的数是 0，把一根长为 3 个单位长度的木条 PQ 放在数轴上（点 Q 在点 P 的左侧 ），使得点 P 与点 O 重合，木条 PQ 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段OB时，速度变为原来的一半，设木条运动时间为 t．当点 P，Q 为点 A，B 的“2 伴点”时，求满足条件的所有 t 的值．
在平面直角坐标系中，已知点 A（8，0），B（0，-8），连接 AB
如图①，动点 C 在 x 轴负半轴上，且 AH⊥BC 交 BC 于点 H、交 OB 于点 P，求证：△AOP≌△BOC；
如图②，在（1）的条件下，连接 OH，求证：2∠OHP=∠AHB：
如图③，E 为 AB的中点，动点 G 在 y 轴上，连接 GE，作 EF⊥GE 交 x 轴于 F，猜想 GB、OB、AF
三条线段之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025 学年广东省广州大学附中大学城校区八年级（上） 期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（）
三角形的稳定性
四边形的不稳定性
两点之间线段最短
长方形的四个角都是直角
【答案】B
【解析】
【分析】利用四边形的不稳定性特点进行解答即可．
【详解】解：学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故选：B．
【点睛】此题考查的是四边形的特点，掌握四边形具有不稳定性这一特点是解决此题关键．
下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
下列计算正确的是（）
A. 4a2  2a2  6a4
C. a6  a2  a3
B. 5a  2a  10a
D. a2 2  a4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 4a2  2a2  6a2  6a4 ，故该选项不符合题意；
B、5a  2a  10a2  10a ，故该选项不符合题意；
C、 a6  a2  a4  a3 ，故该选项不符合题意；
D、a2 2  a4 ，故该选项符合题意；故选：D
如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 且与 BC 相交于点 D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C 的度数是
（）
A. 70°
B. 80°
C. 100°
D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形角平分线的性质和内角和是 180 度的性质可知．
【详解】解：AD 平分∠BAC，∠BAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．
故选 B．
一个不等边三角形的两边长分别为 3 和 5，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（）
2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边的关系．设第三边长为 x ，根据三角形三边的关系得 2  x  8 ，据此求解即可．
【详解】解：设第三边长为 x ，
根据题意得5  3  x  5  3 ，即 2  x  8 ，
又三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数，
 x 为 4、6，符合条件的三角形有 2 个． 故选：A．
如图，已知V ABC 与 DEF ， B，E，C，D 四点在同一条直线上，其中 AB  DF ， BC  EF ，
AC  DE ，则ACB 等于（）
EFD
ABC
2D
1 AFE
2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明△ABC≌△DFE SSS可得
ACB  DEF ，进而由三角形外角性质AFE  ACB  DEF 可得ACB  1 AFE ，即可求解，
2
掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：在V ABC 和△DFE 中，
 AB  DF

BC  FE ，

 AC  DE
∴△ABC≌△DFE SSS，
∴ ACB  DEF ，
∵ AFE  ACB  DEF ，
∴ ACB  1 AFE ，
2
故选： D ．
如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则1为()
A. 32B. 36C. 40D. 42
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：正方形的内角为90
5  2180
正五边形的内角为
正六边形的内角为
5
6  2180 6
 108
 120
1  360  90 108 120  42
故选 D.
点睛：多边形的内角和公式： n  2180.
在平面直角坐标系中，已知点 Aa  1, 1 和点 B 2, a 1 且直线 AB ∥ x 轴，则点a  2, a 1 位于
（）
第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标都相等．根据点 Aa  1, 1 和点 B 2, a 1 且直线 AB ∥ x 轴，可知点A 和点 B 的纵坐标相等，从而可以得到 a 1  1，然后求出 a 的值即可得出答案．
【详解】解：点 Aa  1, 1 和点 B 2, a 1 且直线 AB ∥ x 轴，
 a 1  1 ， 解得 a  0 ，
a  2  2 ， a 1  1，
点2, 1 位于第四象限． 故选：D．
如图，直线 AP 平分BAD ，CP 平分BCD 的外角BCE ，则P 与B 、D 的数量关系是（）
【分析】设PAB  OAP  x ，ECP  PCB  y ，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
【详解】如图，
解：设PAB  OAP  x ， ECP  PCB  y ，
∵ AOB  COD ， AGP  CGD ，
∴ B  BAO  D  OCD ， P  PAG  D  GCD ，
A. 2P  B  D  180
C. 2P  B  D  180
B.
D.
2P  B  D  180
2P  B  D  360
【答案】B
【解析】
B  2x  D 180  2 y①
∴ ，
P  x  D 180  y②
① 2 ②，可得B  2P  D 180， 则 2P  B  D  180 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决 问题．
如图，在V ABC 中，BAC 和ABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O， AE 交 BC 于 E， BF 交 AC
于 F，过点 O 作OD 
BC 于 D，下列三个结论：① AOB  90  1 C ；②当C  60时，
2
AF  BE  AB ；③若OD  a ， AB  BC  CA  2b ，则 S ABC  ab ．其中正确的个数是（）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 0 个
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解AOB 和C 的关系，进而判定①；根据C  60得BAC  BCA  120 ，根据角平分线和三角形内角和定理得BOE  60，在 AB 上取一点 H，使BH  BE ，利用 SAS 证明△HBO≌△EBO 可得AOH  AOF  60 ，利用 ASA 可证明△HAO≌△FAO 得 AF  AH ，进而可判定②；作OH  AC 于 H， OM  AB 于 M，根据题意得OH  OM  OD  a ， 根据 AB  BC  CA  2b ，利用三角形面积即可判段③，即可得．
【详解】解：∵BAC 和ABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O，
∴ OBA  1 CBA ， OAB  1 CAB ，
22
∴ AOB  180  OBA  OAB
=180  1 CBA  1 CAB
22
=180  1 (180  C)
2
= 90  1 C ，
2
故①正确；
∵ C  60 ，
∴ BAC  BCA  120 ，
∵ AE ， BF 分别是BAC 和ABC 的平分线，
∴ OAB  OBA  1 (BAC  ABC)  60 ，
2
∴ AOB  120 ，
∴ AOF  60 ，
∴ BOE  60，
如图所示，在 AB 上取一点 H，使 BH  BE ，
∵ BF 是ABC 的角平分线，
∴ HBO  EBO ， 在△HBO 和EBO 中，
BH  BE

HBO  EBO

BO  BO
∴△HBO≌△EBO （SAS），
∴ BOH  BOE  60，
∴ AOH  60，
∴ AOH  AOF  60， 在HAO 和FAO 中，
 HOA  FAO

AO  AO

AOH  AOF
∴△HAO≌△FAO （ASA），
∴ AF  AH ，
∴ AB  BH +AH  BE+AF ，
故②正确；
如图所示，作OH  AC 于 H， OM  AB 于 M，
∵BAC 和ABC 的平分线相交于点 O，
∴点 O 在C 的平分线上，
∴ OH  OM  OD  a ，
∵ AB  BC  CA  2b ，
∴ S△ ABC
 1 ABOM  1 AC OH  1 BC OD
222
= 1 ( AB  AC  BC)a
2
= ab ，
故③正确；
综上，①②③正确，正确的个数是 3 个， 故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌 握这些知识点，添加辅助线．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
如图，把图中1 、2 、3 按由小到大的顺序排列为．
【答案】1  2  3
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 是解题的关键．根据三角形外角性质得出3  2 ， 2  1 ，即可得出答案．
【详解】解：在V BDE 中， 3  2 ，
在V ABC 中， 2  1 ，
1  2  3 ，
故答案为： 1  2  3 ．
某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素 笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本 3 元，碳素笔每支 2 元，共花费 28 元，则共有 种购买方案．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买 x 支笔记本， y 个碳素笔，利用总价 单价数量，即可得出关于 x ， y 的二元一次方程，再结合 x ，
y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买 x 支笔记本， y 个碳素笔， 依题意得： 3x  2 y  28 ，
 y  14  3 x ．
2
又 x ， y 均为正整数，
 x  2
x  4x  6x  8
或或或，




 y  11
 y  8 y  5 y  2
共有 4 种不同的购买方案． 故答案为：4．
已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是.
【答案】(－6，－2)
【解析】
【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】解：∵点 M（－6，2），
∴点 M 关于 x 轴的对称点的坐标是(－6，－2)． 故答案为：(－6，－2)．
【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
已知V ABC 三边长均为整数，且周长为偶数，若 AC  BC  5 ．则边长 AB 的最小值是．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边
之差小于第三边．根据 AC  BC  5 ，可知 AC、BC 中一个奇数、一个偶数，再由ABC 的周长为偶数， 可知 AB 为奇数，再根据 AB  AC  BC 即可得出 AB 的最小值．
【详解】解：∵ AC  BC  5 ，
∴ AC、BC 中一个奇数、一个偶数，
又∵ ABC 的周长为偶数，三边长均为整数，
∴ AB 为奇数，且为正整数，
∴ AB  AC  BC  5 ，
∴ AB 的最小值为 7． 故答案为： 7 ．
已知等腰V ABC 中． AB  AC ，两腰的垂直平分线交于点 P ，已知BPC  100 ，则等腰三角形的顶角为．
【答案】50 或130
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情 况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当 P 在V ABC 的内部时，连接 AP ，根据垂直平分线性质可得 AP  BP  CP ，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当 P 在V ABC
的外部，连接 AP ，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果．
【详解】解：分两种情况：
当 P 在V ABC 的内部，如图 1，连接 AP
两腰的垂直平分线交于点 P，
 AP  BP  CP ，
BAP  ABP ， CAP  ACP ，
BPC  100 ， BAC  BAP  CAP ，
BAP  CAP  ACP  ABP  2BAC ，
BPC  100 ，
BPA  CPA  360 100  260 ，
BPA  CPA  2BAC  360 ，
BAC  50 ；
当 P 在V ABC 的外部，如图 2，连接 AP ，
由题意得： AP  BP  CP ，
PBA  PAB ， PAC  PCA ，
PBA  PAB  PCA  PAC  2BAC ，
PBA  PAB  PCA  PAC  BPC  360 ，
BPC  100 ，
2BAC  360 100  260 ，
  BAC  130 ，
则等腰三角形的顶角为50 或130 ， 故答案为： 50 或130 ．
如图，BD 是等腰V ABC 的角平分线， AB  AC  6 ，BC  8 ，E 为线段 BD（端点除外）上的动点，
连接 AE ，作EAF  BAC ，且 AE  AF ，连接 DF ，当△ADF 的周长最小时，则 AF 的值是．
DF
7
【答案】 ．
4
【解析】
【分析】首先过点 D 作 DN  AB 、DM  BC ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得 DM  DN ，
从而可得 AD  AB  3 ，连接CF ，证V ABE≌V ACF ，得FCA  EBA ，所以可得点 F 在射线CF
CDBC4
上运动，作点A 关于射线CF 的对称点 A ，当点 A 、 F 、 D 三点共线时△AFD 的周长最小，此时可得
AF  AF  AC  AC  7 ．
DFDFCDDC4
【详解】解：如下图所示，过点 D 作 DN  AB 、 DM  BC ，连接CF ，
Q BD 平分ABC ，
 DN  DM ， EBA  1 ABC ，
2
1 AB·DN
 S ABD  2
AB  6  3 ，
SCBD
1 BC·DM
2
BC84
 ABD 和△CDB 分别看成以 AD 、CD 为底边，则对应边上的高相同，
 AD  S ABD
 AB  3 ，
CDSCBD
BC4
 AC  3  4  7 ，
CD44
BAC  EAF ，
BAE  EAC  EAD  EAC ，
\ Ð BAE = Ð FAC ，
在 ABE 和△ACF 中
 AB  AC

BAE  CAF ，

 AE  AF
△ABE≌△ACF ，
FCA  EBA  1 ABC ，
2
∴点 F 在射线CF 上运动，
如图，作作点A 关于射线CF 的对称点 A ，连接 AC ， AF ，则 AC  AC  AB  6
Ð ACF = Ð A¢CF ，
A¢F =
AF ，
∴△ADF 的周长 AF  DF  AD  AF  DF  AD
由题意得 AD 为定值，
∴如下图所示，当点 A 、 F 、 D 三点共线时， AF  DF 最小，即△AFD 的周长最小，
∵Ð ACF = Ð A¢CF ，
∴同 AD 
AB 的理由可得 AF  AC ，
CDBCDFCD
∵ AC  AC
A¢F =
AF ， AC  7 ，
CD4
 AF  AF  AC  AC  7 ．
DFDFCDDC4
【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线段最短，解 决本题的关键是根据对称性得到当点 A 、 F 、 D 三点共线时△AFD 的周长最小．
三、解答题（本大题共 7 小题，满分 0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

5x  2  3 x 1①

解不等式组 1 x 1  7  3 x② ，并把解集在数轴上表示出来．
 22
【答案】  5  x  4 ，数轴表示见解析
2
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

5x  2  3 x 1①

【详解】解：  1 x 1  7  3 x② ，
 22
解不等式①，去括号得， 5x  2  3x  3
移项，合并同类项得， 2x  5
系数化为 1 得， x   5 ；
2
解不等式②，去分母得， x  2  14  3x
移项，合并同类项得， 4x  16
系数化为 1 得， x  4 ；
故不等式组的解集为：  5  x  4 ．
2
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找 不到”的原则是解答此题的关键．
已知：如图，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上， AB  DE ， AC  DF ， BE  CF ．
（1）求证： A  D ；
（2）若 BF  13 ， EC  7 ，则 BC 的长为．
【答案】（1）详见解析
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考
常考题型．（1）先证 BC  EF ，再证 ABC ≌DEF SSS  ，即可得出结论；
（2）求出 BE  CF  3 ，即可得出答案．
【小问 1 详解】
证明： BE  CF ，
 BE  CE  CF  CE ， 即 BC  EF ，
在V ABC 和DEF 中，
 AB  DE

 AC  DF ，

BC  EF
 ABC≌DEF SSS  ，
A  D ；
【小问 2 详解】
解： BE  CF ， BF  13 ， EC  7 ，
 BE  CF  BF  EC  6 ，
 BE  CF  3 ，
b  5
 BC  BE  EC  3 7  10 ， 故答案为：10 ．
已知 a、b、c 为V ABC 的三边长，且 b、c 满足
c  72  0 ，a 为方程 a  3  2 的解，求V ABC
的周长．
【答案】17
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，构成三角形的条件，解绝对值方程，依据非负数的性质，即可得
b  5
b  5
到 b 和 c 的值，再根据 a 为方程 a  3  2 的解，即可得到 a  5 或 1，依据三角形三边关系，即可得到 a  5 ，进而得出V ABC 的周长．
【详解】解：∵
 c  72  0 ，
 0，c  72  0 ，
b  5
∴ c  72  0
b  5  0

∴ c  7  0 ，
b  5

解得c  7 ，
∵a 为方程 a  3  2 的解，
∴ a  5 或 1，
当 a  1，b  5，c  7 时，1 5  7 ，此时不能组成三角形，故 a  1 不合题意； 当a  5，b  5，c  7 ， 5  5  7 ，此时能组成三角形，符合题意
∴V ABC 的周长 5  5  7  17
在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A ，C 的坐标分别是(-4 ，6) ，(-1，4) ．
请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；并直接写出 A1B1C1 的坐标. (3)请在 y 轴上求作一点 P ，使△PB1C 的周长最小，
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析； A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4) ；
（3）作图见解析；P（0，2）．
【解析】
【分析】（1）根据 A 点坐标建立平面直角坐标系即可；
分别作出各点关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可；
作出点 B 关于 y 轴的对称点 B2，连接 A、B2 交 y 轴于点 P，则 P 点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）如图所示：A1、B1、C1 的坐标是 A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4)
（3）作点 B1 关于 y 轴的对称点 B2（2，-2），连接 C、B2 交 y 轴于点 P，则点 P 即为所求．设直线 CB2 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∵C（-1，4），B2（2，-2），
2k  b  2
k  b  4 ，

k  2

解得b  2
∴直线 CB2 的解析式为：y=-2x+2，
∴当 x=0 时，y=2，
∴P（0，2）．
【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点 距离之和最小的作图方法是解答此题的关键．
（1）如图 1，已知，在类似“伞形图”中． AM  AN ， DM  DN ．求证： AMD  AND ．
（2）如图 2，在AMC 中，MAC 的平分线 AD 交 MC 于点 D ．请你从以下两个条件：①AMD  2C ；
② AC  AM  MD 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容， 熟练掌握相关知识是解题关键．
根据SSS 证明△AMD≌△AND ，由全等三角形的性质可得结论；
选择②为条件，①为结论：在 AC 取点 N，使 AN  AM ，连接 DN ，证明△ADM ≌△ADN ，可得 DM  DN ， AMD  AND ，再由 AC  AM  MD 可得 DN  CN ，从而得到C  CDN 即可解答；
选择①为条件，②为结论：在 AC 取点 N，使 AN  AM ，连接 DN ，证明△ADM ≌△ADN ，可得 DM  DN ，
AMD  AND ，再由AMD  2C ，可得C  CDN ，从而得到 DN  CN 即可解答；
【详解】解：（1）证明：在△ADM 和△ADN 中，
 AM  AN

DM  DN ，

 AD  AD
∴  ADM ≌ ADN SSS ，
∴ AMD  AND ；
（2）解：选择②为条件，①为结论，
如图，在 AC 取点 N，使 AN  AM ，连接 DN ，
∵ AD 平分MAC ，
∴ DAM  DAN ，
在△ADM 和△ADN 中，
∵ AM  AN，DAM  DAN，AD  AD ，
∴ ADM≌ADN SAS ，
∴ DM  DN，AMD  AND ，
∵ AC  AM  MD，AC  AN  NC ，
∴ DM  CN ，
∴ DN  CN ，
∴ C  CDN ，
∴ AMD  AND  CDN  C  2C ； 选择①为条件，②为结论，
如图，在 AC 取点 N，使 AN  AM ，连接 DN ，
同理得： ADM≌ADN SAS ，
∴ DM  DN，AMD  AND ，
∵AMD  2C ，
∴ AND  2C  CDN  C ，
∴ CDN  C ，
∴ DN  CN ，
∴ DM  CN ，
∵ AC  AN  NC ，
∴ AC  AM  MD ；
在数轴上互不重合的四个点 A，B，M，N，如果 MA  2NB 或 MB  2NA，那么点 M，N 叫做 A，B
两点的“2 伴点”．
已知点 A，B 在数轴上表示的数分别为 a，b，且满足| a  b |  | b  4 | 0 ．
（1）填空： a ， b ；
若点 M 表示的数为 2，点 N 在原点右侧，且点 M，N 为点 A，B 的“2 伴点”，求点 N 表示的数；
如图，已知点 O 表示的数是 0，把一根长为 3 个单位长度的木条 PQ 放在数轴上（点 Q 在点 P 的左侧），
使得点 P 与点 O 重合，木条 PQ 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段OB 时，速度变为原来的一半，设木条运动时间为 t．当点 P，Q 为点 A，B 的“2 伴点”时，求满足条件的所有t 的值．
【答案】（1） 4, 4
（2）1 或 7 （3） t  1 或t  5 或t  14.5
33
【解析】
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的实际应用，理解“2 伴点”的定义，是解题的关键：
非负性求出 a, b 的值即可；
分 MA  2NB 和 MB  2NA，两种情况进行求解即可；
（3）分0  t  2 ， 2  t  3.5 ， t  3.5 三种情况进行求解即可．
【小问 1 详解】
解：∵| a  b |  | b  4 | 0 ，
∴ a  b  0, b  4  0 ，
∴ a  4, b  4 ； 故答案为： 4, 4 ；
【小问 2 详解】
解：由（1）知点 A，B 表示的数分别为4, 4 ，
∵点 M 表示的数为 2，
∴ MA  2  4  6 ， MB  4  2  2 ，
∵点 M，N 为点 A，B 的“2 伴点”，
∴ MA  2NB 或 MB  2NA，
∴ NB  3或 NA  1，
∵点 N 在原点右侧，
∴ NA  4 ，
∴ NA  1不符合题意，舍去；
∴ NB  3，
∴点 N 表示的数为： 4  3  1或 4  3  7 ；
【小问 3 详解】
解：由题意，得： PQ  3 ，
∴ PQ 移动前， Q 点对应的数为3 ，此时 AQ  1, BQ  7, AP  BP  4 ， 当点 P 移动到点 B 时，所需时间为： 4  2  2 秒，
当点Q 移动到 B 点时，所需时间为： 4  3  2  3.5 秒，
∴当0  t  2 ， PA  2QB 时， 4  2t  27  2t ，解得： t  5 ，
3
当0  t  2 ， PB  2QA 时， 4  2t  21 2t  ，解得： t  1 ，
3
当 2  t  3.5 ，不存在 PA  2QB 或 PB  2QA ，不满足题意；
当t  3.5 时，点 P 表示的数为： 2 3.5  t  3.5  3.5  t ，点Q 表示的数为： 4  t  3.5  t  0.5 ，
PA  2QB 时， t  3.5  4  2t  0.5  4 ，解得：t  14.5 ；
PB  2QA 时， t  3.5  4  2t  0.5  4 ，解得：t  9.5 （舍去）；综上： t  1 或t  5 或t  14.5 ．
33
在平面直角坐标系中，已知点 A（8，0），B（0，-8），连接 AB
如图①，动点 C 在 x 轴负半轴上，且 AH⊥BC 交 BC 于点 H、交 OB 于点 P，求证：△AOP≌△BOC；
如图②，在（1）的条件下，连接 OH，求证：2∠OHP=∠AHB：
如图③，E 为 AB 的中点，动点 G 在 y 轴上，连接 GE，作 EF⊥GE 交 x 轴于 F，猜想 GB、OB、AF
三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）当点 G 在 y 轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF；当点 G 在线段 OB 上时，OB＝BG+AF；当点 G 在 B 点下方 y 轴上时，AF＝OB＋BG；理由见解析
【解析】
【分析】(1)要证明△AOP≌△BOC 已经有一边，一角相等，只要证明∠HAC=∠OBC 即可．
如下图②中，过O 分别作OM⊥CB 于M 点，作ON⊥HA 于N 点，由△COM≌△PON(AAS)，推出OM=ON．因
为OM⊥CB，ON⊥HA，推出 HO 平分∠CHA，由此即可证明．
分点 G 在 y 轴的正半轴上、点 G 在线段 OB 上、点 G 在 B 点下方 y 轴上时三种情况画出图形讨论即可．
【小问 1 详解】证明：如图①中，
∵AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∠COB＝90°
∴∠HAC＋∠ACH＝∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
COB  POA  90
在△OAP 与△OBC 中:{OA  OB，
OAP  OBC
∴△OAP≌△OBC（ASA），
【小问 2 详解】
解：过 O 分别作 OM⊥CB 于 M 点，作 ON⊥HA 于 N 点，如图②．
在四边形 OMHN 中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 又由(1)可知：△OAP≌△OBC，
∴OP＝OC.
COM  PON

在△COM 与△PON 中： OMC  ONP  90 ，

OC  OP
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴OH 平分∠CHA，
2
∴∠OHP＝ 1 ∠CHA＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴2∠OHP＝∠AHB．
【小问 3 详解】
解：GB、OB、AF 三条线段之间的数量关系如下：
情况一：当点 G 在 y 轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF； 情况二：当点 G 在线段 OB 上时，OB＝BG＋AF；
情况三：当点 G 在线段 OB 的延长线上时，AF＝OB＋BG； 下面逐个证明：
情况一：当点 G 在 y 轴的正半轴上时，连接 OE，作 EF⊥EG，如图．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，E 为 AB 的中点，
∴OE⊥AB，∠BOE＝∠AOE＝45°，OE＝EA＝BE，
∴∠OAB＝45°，∠GOE＝∠GOA+∠AOE =90°＋45°＝135°，
∴∠EAF＝135°＝∠GOE．
∵GE⊥EF，即∠GEF＝90°，
∴∠OEG＝∠AEF，
OEG  AEF

在△GOE 与△FAE 中： OE  AE，

GOE  EAF
∴△GOE≌△FAE（ASA），
∴OG＝AF，
∴BG﹣BO＝GO＝AF，
∴BG﹣BO＝AF．
情况二：当点 G 在线段 OB 上时，连接 OE，作 EF⊥EG，如图：
∵∠OEG=∠FEG-∠FEO=90°-∠FEO，∠AEF=∠AEO-∠FEO=90°-∠FEO，
∴∠OEG=∠AEF，
结合情况一中已经证明的 EO=EA，∠EOG=∠EAF=45°，
∴△GOE≌△FAE(ASA)，
∴GO＝AF．
∴OB＝BG+GO=BG＋AF．
情况三：当点 G 在 B 点下方 y 轴上时，连接 OE，作 EF⊥EG，如图：
∵∠BEG=∠FEG-∠FEB=90°-∠FEB，∠OEF=∠OEB-∠FEB=90°-∠FEB，
∴∠BEG=∠OEF，
且∠FOE=∠FOB+∠BOE=90°+45°=135°，∠GBE=180°-∠OBE=180°-45°=135°，
∴∠FOE=∠BGE=135°， 又 OE=BE，
易证△GOE≌△FAE(ASA)，
∴GO＝FA．
∴AF＝AO+OF=OB＋BG．
【点睛】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质及 判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．