2025-2026学年山东省济南天桥区泺口实验学校九年级上学期数学9月份月考试卷

这是一份2025-2026学年山东省济南天桥区泺口实验学校九年级上学期数学9月份月考试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在反比例函数图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
3．把等式，写成比例式，其中错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）．

A．甲和乙B．丙和丁C．乙和丙D．甲和丁
7．若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（ ）．
A．8B．10C．12D．16
10．如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是( )
A．B．或C．或D．
11．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）

A．3秒或4.8秒B．3秒
C．4.5秒D．4.5秒或4.8秒
12．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题
13．若，则分式 ．
14．若点在反比例函数的图象上，则的值是 ．
15．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ．
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度
17．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，．求证：．
21．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为．
(1)画出．
(2)点E的坐标为______．
(3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)分别连结和，求的面积．
23．如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．
24．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．

(1)求的值和直线的解析式；
(2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值．
《山东省济南天桥区泺口实验学校2025—2026学年九年级上学期数学9月份月考试卷 》参考答案
1．D
【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积．
根据成比例线段的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函数的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
【详解】解：在反比例函数中，，
A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意，
故B在反比例函数图象上．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
【详解】解：，
或或，故A，B，D正确；
由得，故C不正确．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
5．B
【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案．
【详解】解：∵函数解析式为，
∴该函数为反比例函数，图像为双曲线，
∵，
∴图像在一、三象限，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小，
∵在第一象限，
∴，
∵点、在第三象限，且，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
9．C
【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义；
由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形的面积为，
∵两点在反比例函数的图象上，
，
∴四边形的面积为：．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可．
【详解】解：以坐标原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，
则：点E的对应点的坐标是或，即：或；
故选C．
11．A
【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒，
①若，则，
∴，
解得：；
②若，则，
∴，
解得：．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A
12．A
【分析】作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，由函数解析式确定的坐标是，的坐标是，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形求解即可．
【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点
在中，
令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴（），
同理，，
∴，，
故的坐标是，的坐标是．
代入得：，
则函数的解析式是：．
∴，
则的纵坐标是，
把代入得：．即的坐标是，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
13．
【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，然后将代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查求反比例函数自变量的值，将代入即可求解．
【详解】解：将代入，得：，
解得，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴旗杆的高为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．
用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入解析式求出的值，进而计算即可．
【详解】解：设关于的函数解析式为，
把代入，
，
函数解析式为，
当时，，
度数减少了（度），
故答案为：．
17．10
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
∴相似比为，
,
∴四边形的面积为，
故答案为：10．
18．
【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可；
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图象在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．(1)或
(2)或
【分析】本题考查二次方程的求解，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
（1）移项，提取公因式，因式分解解方程即可；
（2）根据因式分解法解方程即可
【详解】（1）解：对原式移项得，
因式分解得，
则或
解得或．
（2）因式分解得，
则或，
解得或．
20．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明．
【详解】证明：，
，
，
又，
．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是位似变换的性质，
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可；
（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案；
（3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，
∴点E的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵与关于原点位似，且相似比为，
∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ，
故答案为：．
22．(1)；
(2)或
(3)
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
（1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式；
（2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围．
（3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为： ，点，
将代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：一次函数与反比例函数交于点，
根据一次函数和反比例函数的图象得：
当时，x的取值范围是：或；
（3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示：
对于，当时，，当时，，
∴D的坐标为，点C的坐标为，
，
，
点，，
，
，，
．
23．(1)
(2)，证明见解析
(3)画图见解析，α的值为30°或150°，
【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知；
由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系；
（3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：．
【详解】（1）是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：由（1）知，，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）如图3，连接DE，CE
∵EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上，
∴AE=DE，BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
，AB=BC，
，
∴△BCE是等边三角形，
，
，即：，
如图4，同理，△BCE是等边三角形，
，即：，
故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键．
24．(1)，直线的解析式为
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解；
（2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标；
（3）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点，
∴，即反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，三点共线时的值最大，
把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，
，即，，
设的表达式为，
将代入，
，
的表达式为，
联立，
解得，，
点的横坐标大于0，
的横坐标为4，
将代入得到：，
即，
设的表达式为，
将，代入得，
解得，
，
令，代入得到，
；
（3）解：①当在的上方时，

∴，，
，，
，
解得：；
②当在的上方时，

∴，，
，，
，
解得：（负根舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，考查分类讨论的思想，设出点，的坐标，得到，的表达式是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
B
D
D
C
C
C
题号
11
12








答案
A
A