2025-2026学年上海市长宁区复旦中学高三（上）9月调研数学试卷（一）（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市长宁区复旦中学高三（上）9月调研数学试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的( )
A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 众数
2.已知复数z满足1+iz=z−2i，则|z|=( )
A. 32B. 52C. 102D. 5
3.已知函数f(x)=x+lg3x4−x的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，则S的值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.若定义在R函数f(x)满足：存在正实数t，使得对任意的实数x，都有f(x)1}，则M∩N= ______．
6.已知α是第四象限角，且sinα=−23，则csα= ______．
7.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是______．
8.若{an}为等差数列，a5+a8=−3，则它的前12项和为______．
9.已知x>0，y>0且x+2y=20 2，则xy的最大值为______．
10.函数f(x)=(x2+1)3在x=1处的瞬时变化率为______．
11.设M是△ABC所在平面上的一点，且MB+32MA+32MC=0，D是AC的中点，则|DM||BM|= ______．
12.有3位医生、2位护士和1位工作人员一起合影，现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为______．
13.若函数y=(4−x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=−3对称，则y的最大值为______．
14.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x−y=0平行的切线，则实数a的取值范围为______．
15.设a∈R，若对任意实数x不等式[x2+(a+2)x+1][(3−2a)x2+5x+(3−2a)]≥0恒成立，则a的取值范围是______．
16.若函数f(x)=ex(x−5)−13kx3+2kx2只有一个极值点，则k的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
(1)求证：BC1//平面A1DC；
(2)求直线BC1与平面A1DC的距离．
18.(本小题14分)
已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．
(1)求t关于x的函数关系式；
(2)求y的最值，并写出取得最值得条件．
19.(本小题14分)
函数f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a,c∈R)．
(1)当a=0时，是否存在实数c，使得f(x)为奇函数；
(2)若函数f(x)过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围．
20.(本小题18分)
已知点A(a,0)(其中a>0)，P1、P2、P3是平面直角坐标系上的三点，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，公差为d．
(1)若a=1，P1坐标为(1,−1)，d=2，点P3在直线3x−y−18=0上时，求点P3的坐标；
(2)若a=1，P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，点P2的横坐标为3，求证：线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标；
(3)若P1、P2、P3都在椭圆x225+y216=1上，且d=3，求实数a的取值范围．
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=x2−ax+2lnx．
(1)若x=2是f(x)的极小值点，求实数a的值；
(2)若f(x)在定义域上严格增，求实数a的取值范围；
(3)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1∈(0,1e]，且f(x1)≥t+f(x2)恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.{1,2}
6. 53
7.15π
8.18
9.100
10.24
11.13
12.35
13.144
14.(−∞,2−1e)∪(2−1e,2)
15.[−4,0]
16.[0,e]∪{e44}
17.(1)证明：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点，
∴上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形，
连接A1C，AC1交于点E，则E为A1C，AC1的中点，
∴在△C1AB中，D，E分别为边AB，AC1的中点，
∴DE//BC1，
又∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，
∴BC1//平面A1DC．
(2)取AC中点O，则BO⊥AC，以O为原点，CA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则O(0,0,0),D(1, 3,0),C(−2,0,0),A1(2,0,4),C1(−2,0,4)，
∴DA1=(1,− 3,4),DC1=(−3,− 3,4),DC=(−3,− 3,0)，
设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z)，
则DA1⋅n=x− 3y+4z=0DC⋅n=−3x− 3y=0，令y= 3，得n=(−1, 3,1)，
∵C1为BC1上的点，BC1//平面A1DC，
∴C1到平面A1DC的距离即为直线BC1与平面A1DC的距离，
d=|DC1⋅n||n|=|(−3)×(−1)+(− 3)× 3+4×1| (−1)2+( 3)2+12=4 5=4 55，
∴直线BC1与平面A1DC的距离为：4 55．
18.解：(1)由已知得12×2×2×sin60°=2×12×t×x×sin60°，
∴t=2x；
(2)由题意，y= x2+t2−2xtcs60°= x2+t2−xt= x2+4x2−2，
∵00，解得a>13，
若x+a=0，即x=−a是方程x2+(3a+1)x+1=0的解，
则代入可得a2+(3a+1)×(−a)+1=0，解得a=12或a=−1．
由题意得a≠12，所以实数a的取值范团a>13且a≠12，即a的取值范围为{a|a>13且a≠12}.
20.(1)因为|AP1|=1，d=2，因此|AP3|=1+2d=5，
又因为点P3在直线3x−y−18=0上，可设P3(x,3x−18)，
如图：
因此(x−1)2+(3x−18)2=25⇒x2−11x+30=0⇒(x−5)(x−6)=0，
因此x=5或x=6，
当x=5时，3x−18=−3，此时P3(5,−3)；当x=6时，(a+2)x2+3x−18=0，此时P3(6,0)，
因此P3点坐标为(5,−3)或(6,0)；
(2)证明：如图：
因为抛物线y2=4x的焦点为A(1,0)，且点P2的横坐标为3，因此|AP2|=3+1=4，
因为P1，P3在抛物线y2=4x上，可设P1(y124,y1)，P3(y324,y3)，
因此|AP1|=y124+1，|AP3|=y324+1，
因为|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，因此|AP1|+|AP3|=2|AP2|⇒y124+1+y324+1=8，
因此y12+y32=24，
设x轴上点M(m,0)，满足|MP1|=|MP3|，
则(m−y124)2+y12=(m−y324)2+y32⇒y32−y122m=y34−y1416+(y32−y12)，
当y12≠y32时，12m=y32+y1216+1⇒12m=2416+1⇒m=5；
当y12=y32时，m=5也可以成立，
因此线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为定点(5,0)；
(3)设P(x,y)为椭圆上一点，则问题可转化为|AP|的最大值与最小值的差不小于6，
因为x225+y216=1⇒y2=16(1−x225)，
因此|AP|= (x−a)2+y2= (x−a)2+16(1−x225)= 9x225−2ax+a2+16，
设f(x)=9x225−2ax+a2+16=925(x−25a9)2+16−16a29，−5≤x≤5，
当25a9≥5即a≥95时，函数f(x)在[−5,5]上单调递减，
因此f(x)max=f(−5)=(a+5)2，因此|AP|max=a+5；
f(x)min=f(5)=(a−5)2，因此|AP|min=|a−5|．
若a≥5，由a+5−(a−5)=10≥6恒成立，故a≥5满足题意；
若95≤a