2025-2026学年上海市长宁区复旦中学高三（上）9月调研数学试卷（一）（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市长宁区复旦中学高三（上）9月调研数学试卷（一）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的( )
A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 众数
2.已知复数z满足1+iz=z−2i，则|z|=( )
A. 32B. 52C. 102D. 5
3.已知函数f(x)=x+lg3x4−x的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，则S的值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.若定义在R函数f(x)满足：存在正实数t，使得对任意的实数x，都有f(x)1}，则M∩N= ______．
6.已知α是第四象限角，且sinα=−23，则csα= ______．
7.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是______．
8.若{an}为等差数列，a5+a8=−3，则它的前12项和为______．
9.已知x>0，y>0且x+2y=20 2，则xy的最大值为______．
10.函数f(x)=(x2+1)3在x=1处的瞬时变化率为______．
11.设M是△ABC所在平面上的一点，且MB+32MA+32MC=0，D是AC的中点，则|DM||BM|= ______．
12.有3位医生、2位护士和1位工作人员一起合影，现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为______．
13.若函数y=(4−x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=−3对称，则y的最大值为______．
14.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x−y=0平行的切线，则实数a的取值范围为______．
15.设a∈R，若对任意实数x不等式[x2+(a+2)x+1][(3−2a)x2+5x+(3−2a)]≥0恒成立，则a的取值范围是______．
16.若函数f(x)=ex(x−5)−13kx3+2kx2只有一个极值点，则k的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
(1)求证：BC1//平面A1DC；
(2)求直线BC1与平面A1DC的距离．
18.(本小题14分)
已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．
(1)求t关于x的函数关系式；
(2)求y的最值，并写出取得最值得条件．
19.(本小题14分)
函数f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a,c∈R)．
(1)当a=0时，是否存在实数c，使得f(x)为奇函数；
(2)若函数f(x)过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围．
20.(本小题18分)
已知点A(a,0)(其中a>0)，P1、P2、P3是平面直角坐标系上的三点，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，公差为d．
(1)若a=1，P1坐标为(1,−1)，d=2，点P3在直线3x−y−18=0上时，求点P3的坐标；
(2)若a=1，P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，点P2的横坐标为3，求证：线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标；
(3)若P1、P2、P3都在椭圆x225+y216=1上，且d=3，求实数a的取值范围．
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=x2−ax+2lnx．
(1)若x=2是f(x)的极小值点，求实数a的值；
(2)若f(x)在定义域上严格增，求实数a的取值范围；
(3)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1∈(0,1e]，且f(x1)≥t+f(x2)恒成立，求实数t的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由题得众数为2，极差为5−1=4，平均数为1+2+2+3+4+56=176，
中位数为2+32=2.5．
故选：C．
利用极差，平均数，中位数和众数的定义进行求解，得到答案．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由1+iz=z−2i，
得z=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i2，
所以|z|= (−12)2+(32)2= 102．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：由x4−x>0，解得0f(x)，
数轴上的的点可以表示任意实数，
而无理数又是实数的子集，
故可以用数轴上的点表示一个无理数t，
无理数写为x+t=A+B，其中A为一实数，B为一无理数，
当然对于任意一无理数x+t均可这样改写，
我们不妨让A控制无理数t在数轴上的位置，
也就是说当A取不同的值时，无理数t可以在x轴上随意移动，
但不管A取多少，即无论t如何移动，t永远不可能移动到x=1、2、3……等有理数的位置，
此时函数是单调递增的．故命题乙是真命题．
综上命题甲为假命题，命题乙为真命题．
故选：D．
结合对有理数无理数概念的理解和函数定义的理解解答本题．
本题重点考查学生对有理数、无理数的理解和对函数三要素的应用．
5.【答案】{1,2}
【解析】解：∵集合M={−2,−1,0,1,2}，
N={x|2x>1}={x|x>0}，
∴M∩N={−2,−1,0,1,2}∩{x|x>0}={1,2}．
故答案为：{1,2}．
先求N={x|x>0}，进而根据集合交集运算可得．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】 53
【解析】解：由于α是第四象限角，故csα>0，
由sin2α+cs2α=1得csα= 1−sin2α= 53．
故答案为： 53．
7.【答案】15π
【解析】解：∵圆锥的底面半径r=3，高ℎ=4，
∴圆锥的母线l=5
则圆锥的侧面积S=πrl=15π
故答案为：15π
由已知中圆锥的底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S=πrl，即可得到答案．
本题考查的知识点是圆锥的侧面积，其中熟练掌握圆锥的侧面积公式S=πrl，其中r表示底面半径，l表示圆锥的母线长，是解答本题的关键．
8.【答案】18
【解析】解：{an}为等差数列，a5+a8=−3，
由等差数列{an}的性质得：
S12=12(a1+a12)2=6(a5+a8)=6×(−3)=−18．
故答案为：−18．
根据等差数列的性质和前n项和公式求解即可．
本题考查等差数列的性质和前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】100
【解析】解：因为x>0，y>0且x+2y=20 2，
由基本不等式，x+2y≥2 2xy，
所以20 2≥2 2xy，解得xy≤100，
当且仅当x=2y=10 2，即x=10 2,y=5 2时等号成立，
故答案为：100．
利用基本不等式求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】24
【解析】解：因为f(x)=(x2+1)3，
所以f′(x)=6x(x2+1)2，
故x=1处的瞬时变化率f′(1)=24．
故答案为：24．
先对函数求导，然后把x=1代入即可求解．
本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题．
11.【答案】13
【解析】解：∵D是AC的中点，∴MA+MC=2MD，
又∵MB+32MA+32MC=0，
∴13MB+12(MA+MC)=13MB+MD=0．
∴MD=−13MB，
∴|MD||BM|=13．
故答案为：13．
D是AC的中点，可得MA+MC=2MD，由于MB+32MA+32MC=0，可得13MB+12(MA+MC)=13MB+MD=0.因此MD=−13MB，即可得出．
本题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式、向量的模，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】35
【解析】解：由题意，先将2位护士和1位工作人员排成一排，有A33种排法，
然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有C32种分组方法，
然后插人到2位护士和1位工作人员所排成的4个空中的2个空，有A42种插空方法，
最后交换相邻2位医生的位置有A22种方法，
所以3位医生中有且只有2位相邻共有A33C32A42A22=432种排法，
又6人随机排成一排有A66种排法，所以所求概率为p=A33C32A42A22A66=35．
故答案为：35．
利用捆绑法求出所求事件的排法，然后利用古典概型概率公式求解即可．
本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
13.【答案】144
【解析】解：由4−x2=0得x=2或x=−2，即2，−2是函数的零点，
f(x)=(4−x2)(x2+ax+b)的图象关于x=−3对称，
所以2，−2关于x=−3对称的数−8，−4也是函数的零点，
所以−8，−4是方程x2+ax+b=0的根，
可得−8+(−4)=−a−8×(−4)=b，
解得b=32，a=12，a+b=44，
又f(x)=(4−x2)(x2+12x+32)=−(x−2)(x+2)(x+4)(x+8)
=−(x2+6x−16)(x2+6x+8)，
令t=x2+6x=(x+3)2−9≥−9，
所以g(t)=−(t−16)(t+8)=−(t−4)2+144，
当t=4时，g(t)最大，且最大值为144．
此时x2+6x=4，解得x=−3± 13，
即x=−3± 13时，f(x)取到最大值144．
故答案为：144．
故答案为：144．
根据二次函数性质，函数零点以及函数最值知识可解．
本题考查二次函数性质，函数零点以及函数最值知识，属于中档题．
14.【答案】(−∞,2−1e)∪(2−1e,2)
【解析】解：函数f(x)=lnx+ax的导数为f′(x)=1x+a(x>0)．
∵函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x−y=0平行的切线，
∴方程1x+a=2在区间x∈(0,+∞)上有解．
即a=2−1x在区间x∈(0,+∞)上有解．
∴a