上海市复旦中学2026届高三上学期质量调研一（9月）数学试卷（含答案）

这是一份上海市复旦中学2026届高三上学期质量调研一（9月）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的( )
A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 众数
2.已知复数z满足1+iz=z−2i，则|z|=( )．
A. 32B. 52C. 102D. 2
3.已知函数f(x)=x+lg3x4−x的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，则S的值为( )．
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.对正实数t，若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)1 ，则M∩N= ．
6.已知α是第四象限角，且sinα=−23，则csα= ．
7.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是 ．
8.若an为等差数列，a5+a8=−3，则它的前12项和为 ．
9.已知x>0，y>0且x+2y=20 2，则xy的最大值为 ．
10.函数f(x)=x2+1在x=1处的瞬时变化率为 ．
11.设M是▵ABC所在平面上的一点，且MB+32MA+32MC=0，D是AC的中点，则DMBM= ．
12.有3位医生、2位护士和1位工作人员一起合影，现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为 ．
13.若函数y=4−x2x2+ax+b的图象关于直线x=−3对称，则y的最大值为 ．
14.曲线f(x)=lnx+ax存在与直线2x−y=0平行的切线，则实数a的取值范围 ．
15.设a∈R，若对任意实数x不等式x2+(a+2)x+1(3−2a)x2+5x+(3−2a)≥0恒成立，则a的取值范围是 ．
16.若函f(x)=ex(x−5)−13kx3+2kx2只有一个极值点，则k的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．

(1)求证：BC1//平面A1DC；
(2)求直线BC1与平面A1DC的距离．
18.(本小题14分)
已知▵ABC是边长为2的正三角形，P、Q依次是AB、AC边上的点，且线段PQ将▵ABC分成面积相等的两部分．设AP=x，AQ=t，PQ=y．
(1)求t关于x的函数解析式；
(2)求y的最小值与最大值及取到最值时x的值．
19.(本小题14分)
函数f(x)=x2+(3a+1)x+cx+aa,c∈R
(1)当a=0时，是否存在实数c，使得f(x)为奇函数；
(2)若函数f(x)过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围．
20.(本小题14分)
已知点A(a,0)(其中a>0)，P1、P2、P3是平面直角坐标系上的三点，且AP1、AP2、AP3成等差数列，公差为d．
(1)若a=1，P1坐标为(1,−1)，d=2，点P3在直线3x−y−18=0上时，求点P3的坐标；
(2)若a=1，P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，点P2的横坐标为3，求证：线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标；
(3)若P1、P2、P3都在椭圆x225+y216=1上，且d=3，求实数a的取值范围．
21.(本小题14分)
已知函数f(x)=x2−ax+2lnx．
(1)若x=2是f(x)的极小值点，求实数a的值；
(2)若f(x)在定义域上严格递增，求实数a的取值范围；
(3)设f(x)有两个极值点x1,x2，若x1∈0,1e，且fx1≥t+fx2恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.1,2
6. 53
7.15π
8.−18
9.100
10.2
11.13
12.35/0.6
13.144
14.(−∞,2−1e)∪(2−1e,2)
15.[−4,0]
16.0,e∪e44
17.(1)
∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，
∴上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形，
连接A1C，AC1交于点E，则E为A1C，AC1的中点，
∴在▵C1AB中，D,E分别为边AB,AC1的中点，
∴DE//BC1，
又∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，
∴BC1//平面A1DC．
(2)取AC中点O，则BO⊥AC，以O为原点，CA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则O(0,0,0),D1, 3,0,C(−2,0,0),A1(2,0,4),C1(−2,0,4)，
∴DA1=1,− 3,4,DC1=−3,− 3,4,DC=−3,− 3,0，
设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z)，则
DA1⋅n=0DC⋅n=0 ⇒x− 3y+4z=0−3x− 3y=0，令y= 3，则x=−1,z=1，
∴n=−1, 3,1，
∵C1为BC1上的点，BC1//平面A1DC，
∴C1到平面A1DC的距离即为直线BC1与平面A1DC的距离，
d=DC1⋅nn=(−3)×(−1)+− 3× 3+4×1 (−1)2+ 32+12=4 5=4 55，
∴直线BC1与平面A1DC的距离为：4 55．

18.(1)
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴S▵ABC=12×2×2sin60°= 3，
又∵线段PQ将▵ABC分成面积相等的两部分，
∴S▵APQ=12S▵ABC=12⋅x⋅t⋅sin60°= 32，解得xt=2，
∵00，∴x2−2=0，解得x= 2，
当1≤x< 2时，f′(x)0(3a+1)2−4>0，解得a>13，
若x+a=0，即x=−a是方程x2+(3a+1)x+1=0的解，
则代入可得a2+(3a+1)×(−a)+1=0，解得a=12或a=−1．
由题意得a≠12，所以实数a的取值范团a>13且a≠12．

20.(1)因为AP1=1，d=2，所以AP3=1+2d=5．
又因为点P3在直线3x−y−18=0上，可设P3(x,3x−18)．
如图：

所以(x−1)2+(3x−18)2=25⇒x2−11x+30=0⇒(x−5)(x−6)=0，
所以x=5或x=6．
当x=5时，3x−18=−3，此时P3(5,−3)；当x=6时，3x−18=0，此时P3(6,0)．
所以P3点坐标为(5,−3)或(6,0)．
(2)如图：

因为抛物线y2=4x的焦点为A(1,0)，且点P2的横坐标为3，所以AP2=3+1=4．
因为P1，P3在抛物线y2=4x上，可设P1y124,y1，P3y324,y3．
所以AP1=y124+1，AP3=y324+1．
因为AP1、AP2、AP3成等差数列，所以AP1+AP3=2AP2⇒y124+1+y324+1=8，
所以y12+y32=24．
设x轴上点M(m,0)，满足MP1=MP3，
则m−y1242+y12=m−y3242+y32⇒y32−y122m=y34−y1416+y32−y12．
当y12≠y32时，12m=y32+y1216+1⇒12m=2416+1⇒m=5；
当y12=y32时，m=5也可以成立．
所以线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为定点(5,0)．
(3)设P(x,y)为椭圆上一点，则问题可转化为|AP|的最大值与最小值的差不小于6．

因为x225+y216=1⇒y2=161−x225，
所以|AP|= (x−a)2+y2= (x−a)2+161−x225= 9x225−2ax+a2+16．
设f(x)=9x225−2ax+a2+16=925x−25a92+16−16a29，−5≤x≤5．
当25a9≥5即a≥95时，函数f(x)在[−5,5]上单调递减，
所以f(x)max=f(−5)=(a+5)2，所以|AP|max=a+5；
f(x)min=f(5)=(a−5)2，所以|AP|min=|a−5|．
若a≥5，由a+5−(a−5)=10≥6恒成立，故a≥5满足题意；
若95≤a