山西省朔州市怀仁大地高中学校2026届高三上学期第一次月考数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份山西省朔州市怀仁大地高中学校2026届高三上学期第一次月考数学试卷（A卷）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=2ax3−3x2+b在x=1处取得极小值1，则f(x)在区间[−1,2]上的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.已知函数f(x)=axex+lnx−x有唯一的极值点t，则f(t)的取值范围是( )
A. [−2,+∞)B. [−3,+∞)C. [2,+∞)D. [3,+∞)
3.已知函数f(x)=x2f′13+lnx−9，则函数在x=1处的切线方程是( )
A. y=92x−9B. y=19x−19C. y=19x−292D. y=92x+472
4.函数f(x)=cs2x−csx在−π,π上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知：a=ln7ln2，b=2.8，c=e1.02，那么a,b,c三者的关系是( )
A. a0时，f(x)在−∞,−lna上单调递减，f(x)在−lna,+∞上单调递增．
(2)方法一：
由(1)得，f(x)min=f−lna=ae−lna+a+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22；
所以g(a)在0, 22上单调递减，在 22,+∞上单调递增，
所以g(a)min=g 22= 222−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．
方法二：
令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，
由于y=ex在R上单调递增，所以ℎ′(x)=ex−1在R上单调递增，
又ℎ′(0)=e0−1=0，
所以当x0；
所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，
因为f(x)=aex+a−x=aex+a2−x=ex+lna+a2−x≥x+lna+1+a2−x，
当且仅当x+lna=0，即x=−lna时，等号成立，
所以要证f(x)>2lna+32，即证x+lna+1+a2−x>2lna+32，即证a2−12−lna>0，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22；
所以g(a)在0, 22上单调递减，在 22,+∞上单调递增，
所以g(a)min=g 22= 222−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．

19.【详解】(1)当a=0时，函数f(x)=x2(lnx−1)定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=2x(lnx−1)+x=2x(lnx−12)，
当00，函数f(x)在(0, e)上递增，在( e,+∞)上递减，
所以当x= e时，f(x)取得极小值f( e)=−e2．
(2)依题意，函数g(x)=ex+x2(lnx−1)−2ax的定义域为(0,+∞)，
由g(x)=0，得2a=exx+xlnx−x，令函数ℎ(x)=exx+xlnx−x,x>0，
求导得ℎ′(x)=ex(x−1)x2+lnx，当0e−1，即a>e−12时，直线y=2a与函数y=ℎ(x)的图象有两个交点，即g(x)有两个零点，
所以a的取值范围是a>e−12．
x
0,1a
1a
1a,+∞
f′(x)
−
0
+
y=f(x)
单调递减
极小值
单调递增