重庆市第十八中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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（命题人：卢友权 审题人：罗强）
考试说明：1．考试时间 120 分钟 2．试题总分 150 分 3．试卷页数 2 页
一．单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个备选选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 已知 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】若 则存在非零实数 使 成立，代入计算即可以求出 .
【详解】 存在非零实数 使 成立
，
故选：C
2. 圆 的周长等于( )
A. π B. 2π C. 4π D. 2 π
【答案】D
【解析】
【详解】分析：将圆的一般式方程化成标准方程，得 ，由此可得圆的半径 ，
再由圆的周长公式即可求出该圆的周长.
详解： 圆的一般方程为 ，
将圆化成标准方程得 .
由此可得圆的圆心为 ，半径 ，
因此该圆的周长为 .
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故选 D.
点睛：本题考查将圆的一般方程转化成标准方程，从而得到圆心和半径，属于基础题.
3. 设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线 斜率的取值范围，进而求得 的倾斜角 的取值范围.
【详解】直线 的斜率为 ，即 ，
所以直线 倾斜角 的取值范围为： .
故选：D.
4. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ，
的面积为 ，则 的周长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理和和角公式得到 ，得到 ，由三角形面积公式得到 ，再利用余弦
定理求出 ，得到答案.
【详解】 ，由正弦定理得， ，
又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
由三角形面积公式可得 ，故 ，
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由余弦定理得 ，
解得 或 （舍去），
故三角形周长为 .
故选：B
5. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解.
【详解】因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 ，经验证符合题意，
所以直线 即 与直线 之间的距离 ．
故选：C．
6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑” 中， 平面
， ，且 ，M 为 AD 的中点，则异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量从而求解.
【详解】如图，“鳖臑” 是由正方体的四个顶点构成的，
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以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线 与 夹角的余弦值为 ，故 B 正确.
故选：B．
7. 方程 表示圆心在 轴上的圆，当半径最小时，方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析得 ，再化为标准方程，利用二次函数的性质得到半径的最小值即可.
【详解】由题意得 ，则 ，
，
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则 ，对称轴为 ，代入得最小值为 ，
此时圆的方程为 .
故选：D.
8. 已知 ， 是圆 上两点，且 . 若存在 ，使得直线
与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆相交的弦长可得 中点 的轨迹为 ，又根据直线 ， 的
方程可知 ，交点 的轨迹方程为 ，若 恰为 的中点，即圆 与圆 有公
共点，根据圆与圆的位置关系可得实数 的取值范围.
【详解】圆 ，半径为 ，
设 中点为 ，且直线 与圆的相交弦长为 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
又直线 过定点 ，
直线 过定点 ，
且 ，
则点 是两垂线的交点，所以 在以 为直径的圆上，
则圆心 ，半径 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
由于直线 斜率存在，所以点 的轨迹要除去点 ，
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若点 恰为 中点可知圆 与圆 有公共点，
即 ， ，
即 ，
解得 ，
即 ，
故选：A
二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 下列四个命题中错误的有（ ）
A. 直线的倾斜角越大，其斜率越大
B. 直线倾斜角的取值范围是
C. 若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
D. 若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断即可.
【详解】解：对于 A，当倾斜角为锐角时，斜率大于 0，当倾斜角为钝角时，斜率小于 0，故 A 错误；
直线倾斜角的取值范围是 ，故 B 正确；
若一条直线的斜率为 ，此时 可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是 ，故 C 错误；
当直线的倾斜角 时，直线的斜率不存在，故 D 错误.
故选：ACD.
10. 已知圆 和圆 ，则（ ）
A. 圆 的半径为 4
B. 轴为 与 的公切线
C. 圆 与 公共弦所在的直线方程为
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D. 圆 上到直线 的距离为 1 的点有 3 个
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项，将圆 化为标准方程，得到半径；B 选项，由圆 和圆 的圆心和半径得到 轴为 与
的公切线；C 选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；D 选项，求出圆 的圆心 到直线
的距离为半径的一半，得到 D 正确.
【详解】A 选项，圆 化为标准方程为 ，故半径为 2，A 错误；
B 选项，圆 的圆心为 ，半径为 1， 轴为 的切线，
又圆 的圆心为 ，半径为 2， 轴为 的切线，
轴为 与 的公切线，B 正确；
C 选项， 与 相减得， ，
故圆 与 公共弦所在的直线方程为 ，C 正确；
D 选项，圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
由于圆 的半径为 ， ，
故圆 上到直线 的距离为 1 的点有 3 个，D 正确.
故选：BCD
11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图 1.也可由正方体切割而成，如图 2.
在如图 2 所示的“蒺藜形多面体”中，若 ，则（ ）
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A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 4
C. 直线 与直线 所成的角为 D. 二面角 的余弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正四面体的表面积即可判断 A；利用割补法，结合体积公式即可判断 B；根据异面直线所成角
的定义平移直线 到直线 ，求解 即可判断 C；根据二面角的定义作出二面角 的
平面角，结合空间向量法即可求解 D.
【详解】对于 A，因为 ，所以 ．
蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为 的小正四面体构成，
故该几何体的表面积为 ，故 A 正确；
对于 B，该几何体的体积为 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以直线 与直线 所成的角即为直线 与直线 所成的角 ，
又因为 ，所以 ，故 C 正确
对于 D，设 的中点为 ，连接 、 ，则 ， ，
则 即二面角 的平面角．
建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
则 ，故 D 错误.
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故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是准确题解题意中“蒺藜形多面体”的定义，结合图 1 和图 2 直观想象“蒺
藜形多面体”的几何特征，对多面体分割计算表面积和体积，再借助正方体求解异面直线所成的角与二面角
.
三、填空题：（本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填写在题中的横线上．）
12. 点 关于直线 对称的点为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设所求对称点的坐标为 ，由对称性可得 ，解方程组可得．
【详解】设所求对称点的坐标为 ，由对称性可得 ，解得 ，
所以所求对称点的坐标为 ，
故答案为： ．
13. 经过点 的直线 与圆 相切于 ， 两点，则四边形 的面积为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】根据圆的性质和勾股定理求出切线长，再将四边形面积分割成两个三角形的面积求解即可.
【详解】由题可知圆 的圆心 ，半径 ，
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如图，连接 ，则 ，
因为 ， 是圆 的切线，
所以 ， ，
所以 ，
所以四边形 的面积 ，
故答案为：12.
14. 已知非零向量 、 ，若 ，且 ，则 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件化简数量积，再设 应用换元法列出一元二次不等式组计算求解.
【详解】因为 ，所以 ，
设 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
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四、解答题：（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 如图，四棱锥 的底面 为平行四边形， ， 分别为棱 ， 上的点，且
， .
（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面 面 ，即可证明 平面 ；
（2）假设在棱 上存在点 ，使得 面 ，由线面平行的性质定理即可得点 为棱 的中点.
【小问 1 详解】
在 上取点 ，使得 ，连接 ，
在 中，点 、 分别为 、 上的三等分点，则有
又 面 、 面
由线面平行的判定定理： 面
又 且 ，∴四边形 为平行四边形
则有 ，又 面 、 面 ，∴ 面
由于 面 、 面 ， ，∴面 面
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又 面 ，∴ 面
【小问 2 详解】
假设在棱 上存在点 ，使得 面
连接 ，交 于
∵ 面 ， 面 ，面 面
由线面平行的性质定理：
则在 中， ，易知 ，
∴ ，∴点 为棱 的中点，即
16. 已知不过原点的直线 在两坐标轴上的截距相等，且过点 .
（1）求直线 的方程；
（2）若圆 经过原点和点 ，且圆心在直线 上，求圆 的标准方程.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）设直线 方程为 ，代入所过点坐标求得参数值；
（2）求出线段 的垂直平分线方程，由此方程与直线 方程联立方程组可求得圆心坐标，再计算出半径
后可得标准方程．
【小问 1 详解】
设直线 ，
将点 代入可得 ，
所以直线 的方程为 .
【小问 2 详解】
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设原点为 ，直线 的斜率为 ，所以线段 的垂直平分线的斜率为 2，
线段 的中点坐标为 ，线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
联立 ，解得 所以圆 的圆心坐标为 .
圆 的半径 .
故圆 的标准方程为 .
17. 在①向量 与向量 垂直，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面题目横线上，并完成解答.
在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_________.
（1）求角 A；
（2）若 ， ，求 的周长.
（注：若选多个条件作答，则按第一个计分）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：根据向量垂直的坐标表示，结合正弦定理边化角化简可得；选②：由数量积定义和三
角形面积公式化简可得；选③：利用正弦定理角化边，然后由余弦定理可得；
（2）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理联立求解可得.
【小问 1 详解】
选①：因为 ，所以
由正弦定理可得：
因为 ，所以 ，即
又 ，所以
选②：因为
所以 ，即
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又 ，所以
选③：因
所以由正弦定理可得：
整理得： ，即
又 ，所以
【小问 2 详解】
因为 ，所以由余弦定理可得 ...①
又 ，所以由正弦定理可得 ...②
联立①②解方程组得：
所以 的周长
18. 已知点 ，圆 .直线 与圆 相交于 A、B 两点， .
（1）若直线 过点 ，求直线 的方程；
（2）①若线段 AB 的中点为 ，求点 的轨迹方程 ；
②过点 作直线 与曲线 交于两点 M、N，设 的斜率分别为 ，求证： 为
定值.
【答案】（1） 或
（2）① ；②证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知：圆心 到直线 的距离 ，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到
直线的距离公式运算求解；
（2）①分析可知 ，即可得方程；②设直线 的方程为 ，设 、
，将直线 的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出 的
值，即可证得结论成立.
【小问 1 详解】
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由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
若直线 的斜率不存在，即直线 ，满足题意；
若直线 的斜率存在，设直线 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以直线 ；
综上所述：直线 的方程为 或 .
【小问 2 详解】
①若线段 AB 的中点为 ，可得 ，即 ，
可知点 的轨迹是以 为圆心，半径为 1 的圆，
所以点 的轨迹方程 ；
②由（1）可知：直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，点 、 ，
联立方程 ，消去 y 可得 ，
则 ，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
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则
.
所有 为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 已知四棱锥 的底面是平行四边形，平面 与直线 ， ， 分别交于点 ， ， 且
，点 在直线 上， 为 的中点，且直线 平面 .
（1）设 ， ， ，试用基底 表示向量 ；
（2）证明，四面体 中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
（3）证明，对所有满足条件的平面 ，点 都落在某一条长为 的线段上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用向量加减法的几何意义有 ， ，即可求 ；
（2）假设四面体 最长棱为 ，只需以 为顶点的其它两组棱中 或
即得证至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
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（3）由 平面 ，令 结合向量共面定理有 ，即得一元二次方程在
有解，求 的范围且范围长度为 即得证.
【详解】（1）∵ ，而 ，
∴ ，
所以 .
（2）不妨设 是四面体最长的棱，则在 ， 中， ， ，
∴ ，即 ，
故 ， 至少有一个大于 ，不妨设 ，
∴ ， ， 构成三角形.
（3）设 ， ， ，由（1）知 .
又 ，有 ， ， ，
∴ ，
，
，
设 ，又
∴
因为 平面 ，所以存在实数 ， 使得： ，
∴
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∴ ，消元： 在 有解.
当 时， ，即 ；
当 时， ，解得 .
综上，有 .
所以对所有满足条件的平面 ，点 都落在某一条长为 的线段上.
【点睛】思路点睛：
1、利用向量线性运算的几何意义，结合几何图形表示向量；
2、利用三角形的性质：两边之和大于第三边(其中假设第三边为最长边)，即可证是否可组成三角形；
3、令 ，根据线面平行，结合向量共面定理得到参数 的方程，进而求范围并且范围长度为
即可.