重庆市第八中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标是（ ）.
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，，（），则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正实数的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
6. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知、是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和圆，则（ ）
A. 存使得直线与直线垂直
B. 直线恒过定点
C. 直线与圆可能相切
D. 直线被圆截得的最短弦长为
10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列递增数列B.
C. 当取得最大值时，D.
11. 已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（ ）
A. B. 直线l的斜率为
C. ，，成等差数列D. 的内切圆半径
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与双曲线交于异支两点，则的取值范围为________．
13. 在等差数列中，，，（），则________．
14. 已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积．
17. 记为数列的前项和，为数列的前项积．已知.
（1）证明：数列等差数列.
（2）求数列的通项公式.
18. 如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M.
（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；
（2）求直线FH的斜率k的最小值；
（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.
19. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.
（1）求的方程：
（2）若直线与交于，两点，且，求取值范围：
（3）已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.