重庆市第十八中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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考试说明：1．考试时间120分钟
2．试题总分150分
3．试卷页数2页
一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共46分.在每个题给出的四个选项中，只有一项选项正确.
1. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 既非充分又非必要条件D. 充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质结合充要条件证明可得.
【详解】充分性：由不等式的性质可知时可得，故充分性成立；
必要性：，则，即，故必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：D.
2. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正切函数的定义计算可得.
【详解】由题意可得.
故选：C.
3. 已知函数为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数奇偶性可得，代入计算即可求解.
【详解】因为函数为上的奇函数，
所以，
当时，，
所以，.
故选：A.
4. 若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方关系及条件可得，解得后计算可得.
【详解】因为，
∴，又，∴，
所以.
故选：B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，分析函数奇偶性及的正负即可判断.
【详解】函数的定义域为，
，函数是偶函数，图象关于轴对称，排除D，
而，排除BC，A选项符合题意.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简等式，得到，然后根据结合的范围求得结果.
【详解】因为，
所以，又，
所以，解得，
又因，所以.
故选：C.
7. 已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】换元后结合二次函数性质分对称轴的位置讨论可得.
【详解】令，
则不等式变为在上恒成立，
设，对称轴，
当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以；
当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以，
综上，a取值范围为.
故选：C.
8. 若函数与在区间上单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按和分类化简两个函数，再结合指数函数单调性及给定定义列出不等式组求解.
【详解】由区间为函数的“稳定区间”，
得函数与函数在区间上同增或者同减，
当时，函数在上递减，在上递增，不合要求；
当时，，，
若两函数在上单调递增，则，解得；
若两函数在上单调递减，则，不等式组无解，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可.
【详解】如图：
设，依题意，，解得，
因此，，
对于A，每个直角三角形的面积为：，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10. 如果两个函数存在关于y轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函数对，下列哪些函数能与函数成类偶函数对（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由题意转化为所求函数与有交点即可求解.
【详解】因为关于y轴对称的函数为，
所以能与函数构成类偶函数对的函数与有交点，
令，可得，无解；
令，可得，无解；
令，即，如图

有解；
令，即，解得.
故选：CD.
11. 已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】数形结合利用对数的运算逐项分析可得.
【详解】如图：
可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由诱导公式一计算可得.
【详解】.
故答案为：.
13. 已知，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：2
14. 已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求出，再利用一元二次方程实根分布列式求出取值范围.
【详解】由，得，
当且仅当，即时取等号，则，
方程，由，得，
依题意，关于的一元二次方程在上有两个不相等的实根，
因此，解得，
所以t的值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1），求；
（2）若，求实数m的值.
【答案】（1）；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）把代入，解一元二次不等式化简集合，再利用交集、补集的定义求解.
（2）利用给定交集的结果，结合方程的根列式求解并验证.
【小问1详解】
当时，，
或，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，而，
则，因此是方程的根，
即，解得，此时，符合题意，
所以实数m的值为8.
16. 已知，求下列式子的值.
（1）为第二象限角，求；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用给定条件，利用诱导公式、同角公式求解.
（2）由（1）中信息，利用齐次式法，转化为关于的式子求解.
【小问1详解】
由，得，即，又，
由为第二象限角，得，因此，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以.
17. 已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简不等式，分两种情况分别求出不等式的解集即可.
（2）根据的区间先对不等式进行化简变形为，然后根据的区间和单调性求出的最大值，进而求出结果.
【小问1详解】
当时，函数，所以不等式化简为.
当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得，
化简得，解得或，又，所以；
当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得，
解得不等式无解集.
综上，不等式的解集为.
【小问2详解】
不等式化简为，其在区间上恒成立，
所以当时，不等式为，变形为.
令，设且，
则，
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以在时取最大值为.
所以要使得不等式在区间上恒成立，则只需即可，即.
18. 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入万美元，且．该公司一年内共生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）32；6104万美元
【解析】
【分析】（1）根据该公司一年内共生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元，求出，然后由，将代入即可.
（2）当时，利用二次函数的性质求出最大值；当时，利用基本不等式求出最大值，比较两个最大值即可.
【小问1详解】
总成本为，销售收入为，
所以利润为，
因为生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元.
所以.
当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
①当时，，
则，当且仅当时取等号.
②当时，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
综合①②知，当时，W取最大值，最大利润为6104万美元.
19. 已知函数（且，）是偶函数，函数（且）．
（1）求b的值；
（2）若函数有零点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若，，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数是偶函数，利用偶函数的定义，化简函数，求的值；
（2）问题转化为有解，分和两种情况讨论；
（3）由条件可知问题转化为，根据不等式恒成立，参变分离后对恒成立，转化为求函数最值.
【小问1详解】
∵为偶函数，∴，有，
对恒成立.
∴对恒成立.
∴，恒成立，∴.
【小问2详解】
若函数有零点，
即，即有解.
令，则函数图象与直线有交点.
当时，∵，，无解.
当时，∵，，由有解可知，所以，
∴的取值范围是.
【小问3详解】
当时，
，
由（2）知，，当且仅当时取等号，所以的最小值是.
由题意，，，使得成立，
即，成立，所以对恒成立，设，则对恒成立，
设函数，易知函数和函数在内都是减函数，
所以在是减函数，
则，所以.
即的取值范围是.