湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段检测模拟数学试卷（Word版附解析）

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选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（25-26高三上·湖北黄石·开学考试）若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数模的计算公式求出．
【详解】，
，
．
故选：B．
2．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合
【分析】先求解一元二次不等式得集合，根据阴影部分表示的集合，利用补集定义求得，再求即可.
【详解】由可得，解得，即.
如图所示的阴影部分可表示为，
因或，，故.
故选：A.
3．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（ ）（单位：立方厘米）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】利用圆台体积公式直接求解即可.
【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，由题意，．
则该圆台的体积为立方厘米．
故选：D．
4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，求得，结合两角差的正切公式即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，
即，所以，则，
.
故选：A.
5．（25-26高三上·河南·开学考试）在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示
【分析】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，得到相关点的坐标和相关向量的坐标表示，利用求解，最后结合平面向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，，，，，，
依题意，因为，即，
所以，
结合，解得，
则，，，，
因此，.
故选：C.
6．（24-25高一上·湖北恩施·期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据函数的新定义得到且，结合函数和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，且值域为，
即函数的最小值，最大值为，
又由函数，
当时，可得，
要是函数满足新定义，则满足，即，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
7．（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得.
【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，
如图：

所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，
所以当分别为圆的切线，且最小时，
最大，又，则最大，
所以最大，此时最小，
此时．
显然的最大值为1，故．
故选：A
8．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解.
【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，
所以，，设，则，可得，
则，解得，
所以椭圆C的方程，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D.
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误，
由，
易知，半径，
则点到直线的距离，
故弦长；故C正确，
当，并在如图所示位置时，
P到直线AB的距离最大，为；
故选：AD.
10．（25-26高三上·重庆·阶段练习）函数的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ）

A．
B．的最小正周期
C．在区间上单调递减
D．在上恰有 3 个零点，则的取值范围是
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】借助图象最大值可得，再利用所过点计算可得A；利用正弦函数周期公式计算可得B；利用正弦函数的单调性可得C；结合正弦函数图象计算即可得D.
【详解】对A：由图可得，有，则，
又，故或，
因为在点（0，-1）附近的图象呈下降趋势，故，故A错误；
对B：，，
所以，解得，
由图知，可得，可得.
则，故B正确；
对C：当时，，
由在上单调递增，
故在区间上单调递增，故C错误；
对D：，则，
若函数恰有3个零点，则有，
即，故D正确.
故选：BD.
11．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则三棱锥体积为定值
B．若，则动点所围成的图形的面积为
C．若，则的最小值为3
D．若动点满足，则的轨迹的长度为
【答案】ABD
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题
【分析】运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度.
【详解】对于A，因为动点在正方体内及其边界上运动，
且，，则动点的运动轨迹为线段.
由于，平面，所以平面.
故三棱锥的体积为定值，A正确.
对于B，在正方形中，.
在正方体中，因为平面，又平面，所以.
因为，，，且，平面，所以平面.
动点在正方体内及其边界上运动，且，
所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确.
对于C，设边上的高为，则.
由正弦定理可得，所以，故.
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
设，，，，则，.
又，则有，整理得，
所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面.
又，所以，故C错误.
对于D，由，设，，，则，
即，化简得，表示以为球心，半径为的球.
又，，则，即，
化简得，表示以为球心，半径为的球.
两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为，
则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计
【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可．
【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即，
若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，，
其中两人的成绩都低于的情况有6种，
分别为，
所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为.
故答案为：．
13．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】高度测量问题、球的表面积的有关计算
【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，
设球的半径为，，，
，，
，即球体建筑物的表面积为.
故答案为：
14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】首先确定函数性质，在上单调递增，再求函数在区间上的最大值为，将最大值带入不等式.已知函数的值域为，则恒或立，即；恒成立，即.所以本题可化为对所有的恒成立, 令，由对恒成立,即 ，可得结果.
【详解】设且，则，即，
因为，当时，，所以，即，
所以，故在上单调递增，则在上的最大值为．
因为对所有的恒成立，
所以对所有的恒成立，
即对所有的恒成立．
令，由对恒成立，
得，即，解得或或．
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（共77分）
15．（25-26高三上·广西南宁·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求的值；
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式，结合题中条件即可求解.
【详解】（1）由可得，
故，
由于,故，
（2）由，故，
又得，故，
故，
16．（25-26高一上·全国·单元测试）某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答，并按学段人数比例分层随机抽样，从中抽取220名学生，对其分数进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该地区所有学生知识问答分数的众数；
(2)分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的最低分数；
(3)教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差．
参考数据：，，．
【答案】(1)，众数约为75分
(2)88分．
(3)89.5，21．
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数
【分析】（1）利用频率之和为1列方程求解；根据最高矩形横坐标的中点可确定众数；
（2）利用频率分布直方图求90百分位数即可；
（3）根据平均数及方差的计算公式计算即可得解.
【详解】（1）由，
解得．
由题图可知，众数为75，
用样本估计总体，知该地区所有学生知识问答分数的众数约为75分．
（2）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
故90%分位数落在第5组，设为x，则，解得，
即“防溺水达人”的最低分数为88分．
（3）由题意，剩余8个分数的平均数为．
因为这10个分数的方差，
所以，
所以剩余8个分数的方差
.
即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5，21．
17．（河北省保定市大数据应用调研阶段性联合测评2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题）已知圆C经过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点在圆C上，求的最大值与最小值；
(3)过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为．
(3)或．
【难度】0.65
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、点与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解；
（2）由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解；
（3）分直线的斜率存在与不存在进行求解．
【详解】（1）由已知可设圆心为，
则，即，
解得，∴，，
∴圆C的方程为．
（2）表示原点与圆C上的点间的距离，
而原点O在圆C外，，圆C的半径，
∴的最大值为，最小值为．
（3）当l垂直于x轴时，l即为y轴，将代入圆C的方程，
得，
∴，，
此时截得的弦长为，满足条件：
当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx，
圆心C到直线l的距离，
由点到直线的距离公式得，解得．
∴直线l的方程为x＝0或．
18．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，．

(1)若平面，证明：；
(2)若四点共圆，且二面角的余弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由线面平行的性质定理，证得，得到平面，进而证得.
（2）以为原点，过点平行的直线为轴，建立坐标系，设，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）证明：在中，因为，
可得，所以，
又因为底面，且底面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，平面，且平面平面，
所以，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，因为四点共圆，可得，
以为原点，以所在直线分别为轴和轴，过点平行于的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，
设，则，即，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为二面角的余弦值为，
可得，解得，
因为，所以，即的长为.

19．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且，
（）证明：直线过定点；
（）求面积的最大值．
【答案】(1)椭圆的标准方程为
(2)（）证明见解析；（）面积的最大值为
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题
【分析】（1）结合椭圆和等边三角形的性质，即可求解.
（2）（）法一：根据已知条件设，直线的方程，直线的方程，求出点的坐标，再求出，进而得到直线的方程，整理即可求解；
法二:先根据斜率公式表示出，结合椭圆方程，得到，进而设直线的方程为，与椭圆方程联立，并利用韦达定理化简，即可求解.
（）根据，可得，再设进行整体代换，并利用函数单调性，即可求解.
【详解】（1）根据题意作图如下：
由题意得，所以，
因为，所以椭圆的标准方程为.
（2）（）证明：法一：由（1）可知，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，化简得，
因为，所以，即，
联立，化简得，
因为，所以，即，
则，
所以直线的方程为，整理得，
所以直线过定点，即右焦点.
法二：设，又由（1）知，
所以，
则有，
又，则，代入上式可得.
又因为，所以.
设直线的方程为，
联立，得，
所以，且
所以，
由，
化简得且，
即，解得或（舍），
所以直线过定点，即右焦点；
（）由（）得，
令，则，则，
因为在上单调递增，所以时，取得最大值，
此时，直线的发方程为.