湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1.设集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知命题p：“，有成立”，则命题p的否定为（ ）
A.，有成立B.，有成立
C.，有成立D.，有成立
3.已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
4.若aA.>B.a2C.bn
5.函数的值域为（ ）
A.B.C.D.
6.若存在实数，使m
A.B.C.D.
7.若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关
8.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.下列叙述中不正确的是（ ）
A.若a，b，，则“”的充要条件是“”
B.若a，b，，则“”的充要条件是“”
C.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D.“”是“”充分不必要条件
10.设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A.有最小值4B.有最小值C.有最大值D.有最小值
11.定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A.B.是奇函数
C.在上有最大值D.的解集为
12.已知为奇函数，且为偶函数，若，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.满足的集合的个数是________个．
14.已知，则的单调递增区间为______．
15.若，，，，则的最小值为______．
16.若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.记关于x的不等式的解集为P，不等式|x－1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．
18.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x＋5.
19 已知，，．
（1）求的最小值；
（2）求证：．
20.已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
21.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：，
（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；
（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
22.对于定义域为I函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．
（1）判断函数（）和函数（）是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
（2）如果是函数（）的一个“优美区间”，求的最大值．