湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学模拟（一）试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学模拟（一）试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知直线 2x−2y−6=0 和直线 x−y−1=0 平行,则这两条平行线之间的距离为( )
A. 22 B. 2 C. 22 D. 42
2. 已知圆 C:x2+y2−8y+15=0 ,直线 l:x+ky−1−4k=0 ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交或相切
3. 已知点 A3,4,B−2,−1 ,若直线 l:y=kx−2+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是 ( )
A. 12,+∞ B. −∞,12∪[3,+∞) C. −∞,0]∪12,3 D. 12,3
4. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2−6x−91=0 内切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. x236+y227=1 B. x236−y227=1 C. x216+y27=1 D. x216−y27=1
5. 过直线 x+2y=3 上一动点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B . 当点 P 运动时, 直线 AB 经过定点的坐标为( )
A. 13,23 B. 13,13 C. 23,23 D. 23,13
6. 如图, P 是正方体 ABCD−A1B1C1D1 体对角线 AC1 (含端点)上的动点, M 为棱 DD1 (含端点)上的动点, 则下列说法正确的是( )

A. 异面直线 B1P 与 A1D 所成角的最小值为 π4
B. 异面直线 B1P 与 A1D 所成角的最大值为 π2
C. 对于任意给定的 P ,存在点 M ,使得 AM⊥B1P
D. 对于任意给定的 M ,存在点 P ,使得 B1P⊥AM
7. 据文献及绘画作品记载,中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期. 某拱桥及其示意图如下,桥拱 APB 是一段圆弧,桥的跨度 AB=40 m ,拱高 OP=10 m ,与 OP 相距 a m 的支柱 A1P1=5 m ,则 a= ( )


A. 5 B. 53 C. 15 D. 103
8. 已知 a,b 为单位向量,且 a−2b=7 ,向量 c 满足 c2−4a⋅c+3=0 ,则 c⋅b−a 的最大值为 ( )
A. 3−1 B. 3+1 C. 3−3 D. −3+3
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9. 已知直线 l:3x+y−6=0 与圆 C:x2+y−12=5 相交于 A,B 两点,则( )
A. l 是圆 C 的一条对称轴 B. 圆 C 的半径为 5
C. 圆心 C 到 l 的距离为 31010 D. 三角形 ABC 的面积为 52
10. 如图所示,一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面成 45∘ 角的平面所截,截面是一个椭圆,则( )

A. 椭圆的长轴长为 4 B. 椭圆的离心率为 24
C. 椭圆的方程可以为 y24+x22=1 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2−2
11. 已知过点 P1,0 的直线 l 与动圆 C:x2+y2−2ax=0ab>0 的离心率为 12 ,经过点 0,3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 D 为 C 的右顶点,过点 E−1,12 的直线交 C 于 A,B 两点,若 E 为 AB 的中点,求 △ABD 的面积.
18. 已知圆 C:x−22+y−22=4 ,直线 l:x+y−6=0 .
(1)若从点 M4,1 发出的光线经过直线 y=−x 反射,反射光线 l1 恰好平分圆 C 的圆周,求反射光线 l1 的一般方程.
(2)若点 Q 在直线 l 上运动, A4,0,B0,4 ,求 QA2+QB2 的最小值.
(3) 设 D−4,2 ,若点 P 是圆 C 上任意一点,试问: 在平面上是否存在定点 E ,使得
PD=3PE ? 若存在,求出点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19. 设圆 C:x2+y2−2x−t2=0 (常数 t>0 ) 与 y 轴正半轴的公共点为 D ,直线 l 过点 E0,−3 . ( 1 )写出圆 C 的圆心 C 的坐标以及半径； (2) 设 t=3 ,当直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点时,求弦 AB 的中点 M 的轨迹; (3)设直线 l 的斜率为 k ,若 l 恒与圆 C 相交(仍记交点为 A 、 B ),求正实数 t 的取值范围； 在上述情况下,若 ∠ADB 为锐角,求实数 k 的取值范围.
长沙市周南中学2025年下学期高二第一阶段考试模拟试卷
数学（一）参考答案
1. B【详解】直线 2x−2y−6=0 可化为 x−y−3=0 ,设两条平行直线间的距离为 d ,则d=−3−−112+−12=22=2 . 故选:B .
2. D【详解】由 x2+y2−8y+15=0 可得 x2+y−42=1 ,
直线 l 的方程 x+ky−1−4k=0 整理为 x−1+ky−4=0 ,
则直线 l 恒过点(1,4),又点(1,4)在圆 C 上,故直线 l 与圆 C 相交或相切. 故选: D
3. B 【详解】直线 l:y=kx−2+1 过定点 P2,1 ,而 kPA=1−42−3=3,kPB=1+12+2=12 ,

由图可知,要使直线 l:y=kx−2+1 与线段 AB 相交,
则 k≤12 或 k≥3 ,即 k 的取值范围是 −∞,12∪[3,+∞) . 故选: B.
4. A【详解】设动圆圆心为 Mx,y ,半径为 R ,设已知圆的圆心分别为 O1、O2 ,
将圆 x2+y2+6x+5=0 的方程配方得: x+32+y2=4 ,圆心 O1−3,0 ,半径为 2,
圆 x2+y2−6x−91=0 同理化为 x−32+y2=100 ,圆心 O23,0 ,半径为 10,
当动圆与圆 O1 相外切时,有 O1M=R+2 ① 当动圆与圆 O2 相内切时,有 O2M=10−R ②
将①②两式相加,得 O1M+O2M=12>O1O2∴ 动圆圆心 Mx,y 到点 O1−3,0 和 O23,0 的距离和是常数 12 ,所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1−3,0、O23,0 ,长轴长等于 12 的椭圆,故 a=6,c=3 , b2=27,∴x236+y227=1 . 故选: A.
5. A【详解】圆 x2+y2=1 ,则圆心 C0,0 ,半径 r=1 ,
点 P 为直线 x+2y=3 上一动点,设 P3−2t,t ,由题意知 A,B 在以 PC 为直径的圆上,且圆心为 P3−2t2,t2 ,半径为 3−2t2+t22 ,
则此圆的方程为 x−3−2t22+y−t22=3−2t2+t24 ,化简得: x2+y2−3−2tx−ty=0 ,与圆 x2+y2=1 相减,得直线 AB 的方程: 3−2tx+ty−1=0 ,
即 ty−2x+3x−1=0 ,由 y−2x=03x−1=0 ,解得 x=13y=23 ,所以直线 AB 过定点 13,23 . 故选: A .
6. D【详解】以 C1 为坐标原点,建系如图,设正方体的边长为 1,则 A1D=0,−1,1 ,
设 C1P=λC1A=λ,λ,λ,λ∈0,1 ,则 B1P=B1C1+C1P=λ,λ−1,λ ,
设异面直线 B1P 与 A1D 所成的角为 θ ,
则 csθ=csB1P,A1D=12⋅λ2+1−λ2+λ2=12⋅3λ2−2λ+1 ,
因 y=3λ2−2λ+1=3λ−132+23 ,由于 λ=13∈0,1 ,则 λ=13 时, ymin=23 ,
又 λ=0⇒y=1,λ=1⇒y=2 ,于是 y∈23,2 ,则 csθ∈32,12 ,
又 θ∈0,π2 ,结合余弦函数的单调性可知, θ∈π6,π3 ,故 AB 错误;
对于 C . 设 M1,0,m,m∈0,1 ,则 AM=0,−1,m−1 ,
由上述分析, B1P=λ,λ−1,λ,AM⋅B1P=1−λ+λm−1)=1+λm−2 ,
当 λ=0 时, AM⋅B1P=0 无解,故 C 错误; 对于 D.∀m∈0,1 ,令 AM⋅B1P=0 ,得 λ=12−m∈12,1⊆0,1 ,即对于任意的 M ,存在点 P 使得 AM⊥B1P ,故 D 正确. 故选: D.

7. C 【详解】设拱桥所在圆心为 O1 ,连接 OO1,O1B,O1P1 ,作 P1P2⊥OP 于点 P2 ,如下图所示:

设圆的半径为 r ,在 △OBO1 中利用勾股定理可得 r−OP2+OB2=O1B2 ,
即 r−102+202=r2 ,解得 r=25 : 易知 P1P2=OA1=a,OP2=A1P1 ,
在 △P1P2O1 中,易知 P2O12+a2=r2 ,即 15+5+a2=252 ,解得 a=15 . 故选: C
8. C 【详解】由 a,b 为单位向量,且 a−2b=7 ,则 a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=5−4a⋅b=7 ,
解得 a⋅b=−12 ,设 a,b 的夹角为 a,b ,则 csa,b=a⋅ba⋅b=−12 ,解得 a,b=2π3 ,
不妨设 a=1,0,b=−12,32,c=x,y ,由 c2−4a⋅c+3=0 ,则 x2+y2−4x+3=0 ,整理可得 x−22+y2=1 ,易知圆心(2,0),半径为 1,设 c⋅b−a=k ,由
c⋅b−a=x,y⋅−32,32=−32x+32y ,则 3x−3y+2k=0 ,
易知当直线 3x−3y+2k=0 与圆 x−22+y2=1 相切时, k 取得最值,
可得 6−0+2k9+3=1 ,整理可得 k2+6k+6=0 ,解得 k=−3±3 ,
所以 c⋅b−a 的最大值为 3−3 . 故选: C.
9. BD【详解】对于 AB ,由圆 C 方程知: 圆心 C0,1 ,半径 r=5, B 正确;
直线 l:3x+y−6=0 不过圆心 C0,1,∴l 不是圆 C 的对称轴, A 错误:
对于 C ,圆心 C 到直线 l 的距离 d=1−610=102,C 错误;
对于 D,∵AB=2r2−d2=25−52=10,∴S△ABC=12AB⋅d=52 , D 正确. 故选: BD.
10. ACD 【详解】对于 A ,圆柱的底面半径是 2 ,直径是 22 ,所以椭圆的长轴长 2a=22cs45∘=4 ,
a=2 , A 正确；对于 B ,短轴长 2b=22,b=2 ,则 c=a2−b2=2 ,离心率 e=ca=22 . B 错
误:对于 C ,以椭圆中心为原点,长轴与短轴所在直线分别为 y 轴, x 轴建立平面直角坐标系,可得椭圆
的方程为 y24+x22=1 . C 正确: 对于 D ,椭圆上的点到焦点的距离的最小值是 a−c=2−2 . D 正确:
故选: ACD.
11. BC 【详解】圆 C:x2+y2−2ax=0a3 ,
所以正实数 t 的取值范围是 t>3 :
直线 l:y=kx−3 ,由 y=kx−3x2+y2−2x−t2=0 消去 y 得,
k2+1x2−6k+2x+9−t2=0,

设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x1+x2=6k+2k2+1,x1x2=9−t2k2+1 , DA=x1,y1−t,DB=x2,y2−t ,由 ∠ADB 为锐角,得 x1x2+y1−ty2−t>0 ,
即 x1x2+kx1−3−tkx2−3−t>0 ,整理得 k2+1x1x2−3+tkx1+x2+3+t2>0 ,
则 k2+1⋅9−t2k2+1−3+tk6k+2k2+1+3+i2>0 ,又 3+t>6 ,整理得 6−2k>0 ,解得 k