湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试卷（二）

这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试卷（二），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设为虚数单位，已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
2．已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若，，则‖B．若，，则‖
C．若‖，‖，则‖D．若‖，‖，则‖
3．某地区中午11时到夜里23时的气温分布如图所示，关于这5个时刻的温度，以下说法错误的是（ ）
A．5个时刻温度的极差为
B．5个时刻温度的中位数为
C．平均温度为
D．下午17时温度最高
4．已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
5．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ）
A．B．C．D．
8．革命烈士陵园内的革命烈士纪念碑，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为点，纪念碑的最底端记为点（在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为15米，在两点处测得纪念碑最顶端处的仰角分别为和，则纪念碑的高度为（ ）
A．17米B．16米C．15米D．14米
二、多选题
9．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）

A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
10．已知复数，则（ ）
A．为纯虚数
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2
C．数据的第70百分位数是23
D．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8
三、填空题
12．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是 .
13．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 ．
14．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
16．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；
(2)估计月平均用电量的中位数；
(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
17．从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”．
(1)写出此试验的样本空间及的值；
(2)判断A与B是否为互斥事件，并求．
18．如图，在三棱锥中，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求二面角的正弦值．
19．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求，；
(3)若，求周长的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】利用复数的商的运算法则求得，进而可求.
【详解】，
则.
故选：B.
2．B
【分析】对于ACD，举例分析判断，对于B，由线面垂直的性质分析判断.
【详解】对于A，如图，，，则与相交，所以A错误，
对于B，因为，，所以由线面垂直的性质可得‖，所以B正确，
对于C，如图，‖，‖，则与相交，所以C错误，
对于D，如图，‖，‖，则与相交，所以D错误，
故选：B
3．B
【分析】结合极差、中位数、平均数定义分析图象即可得.
【详解】由图可知，5个时刻温度的极差为，故A正确；
中位数为，故B错误；
平均温度为，故C正确；
比较几个数值可知下午17时温度最高，故D正确.
故选：B.
4．C
【分析】利用余弦定理可得三角形的形状.
【详解】因为，不妨设，，
则为最大角，由余弦定理可得，
即为钝角，所以是钝角三角形.
故选：C
5．C
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为，
侧面面积为，由题意知，
所以，解得，
因此该圆锥的高，
故该圆锥的体积．
故选：C．
6．B
【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
【详解】因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
7．D
【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解.
【详解】如图，连接，则，
正四棱柱的体积为，
则，则，
则为异面直线与所成角，
则，，
故.
故选：D

8．C
【分析】设米，然后分别在和中表示出，再在中利用余弦定理列方程可求出
【详解】设米，在中，，则，
在中，，，得，
在中，，，则由余弦定理得
，，解得，
所以纪念碑高度为15米，
故选：C
9．CD
【分析】求出的边长，计算出三角形的形状和周长，即可得出结论.
【详解】由题意，
在斜二测视图中，，
∴，
，，B错误.
∴在中，，
∴是的中线，，，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，A错误，C正确，
，D正确，
故选：CD.
10．AD
【分析】借助复数的加减、乘除运算法则，复数的几何意义与共轭复数的定义逐项判断即可得.
【详解】对于A：，故为纯虚数，故A正确；
对于B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误；
对于C：，
，故，故C错误；
对于D：令，，则由，
可得，即，
故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确.
故选：AD.
11．ABD
【分析】A选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，根据方差性质得到的方差可判断.
【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确；
B选项，的平均数为，
方差，故B正确；
C选项，这10个数据从小到大排列为，
由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
即，所以第70百分位数是，故C错误；
D选项，不妨设，则，
即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确．
故选：ABD
12．
【分析】利用投影向量的计算公式计算可得.
【详解】为单位向量，则 ，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
13．
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.
【详解】由题可得两个圆台的高分别为，
，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】用来表示，再用向量的数量积化简，结合余弦型函数求值域即可.
【详解】连接，则，
由题可设，则，
所以
，
因为，所以，
故.
故答案为：.
15．(1).
(2)证明见解析.
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.
（2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.
【详解】（1）.
（2），
，.
16．(1)0.0075
(2)224
(3)3
【分析】（1）根据频率分布直方图相关数据直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图相关数据直接计算中位数即可；
（3）根据分层抽样相关知识，结合抽样比例进行计算即可.
【详解】（1）由，
得，
所以直方图中x的值是0.0075
（2）因为，
所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，
由，得，
所以月平均用电量的中位数是224
（3）月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有 (户)，
抽取比例，
所以月平均用电量在用户中应抽取户
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意直接写出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可；
（2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得；
【详解】（1）样本空间：，
所以.因为，，
所以，.从而，.
（2）因为，故与不是互斥事件.
又.所以.
从而.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可证明平面，从而得证；
（2）由（1）可得，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理，
即，解得，
所以，即，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）因为平面，又平面，所以，
又，所以为二面角的平面角，
取的中点，连接，因为，所以，
又，所以，
所以，所以二面角的正弦值为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正（余）弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可；
（3）利用正弦定理将、转化为的三角函数，结合正切函数的性质计算可得
【详解】（1）因为，
由余弦定理，可得，
由正弦定理可得
，
．
，，即，
，，
，则，．
．
（2）的面积为，，
由余弦定理得，即，
，即，
．
（3）法一：由正弦定理
，
，
所以，
由于为锐角三角形，则，则，所以，
又，
，，
的周长的取值范围为．
法二：，
由于为锐角三角形，所以，则，
，．
由余弦定理得，
所以的周长
记，则在上单调递增，
的周长的取值范围为．