湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷（一）

这是一份湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷（一），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为直线，为平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某单位有员工500人，青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人， 150人和50人，在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样，若抽出的青年职工为30人，则抽出的老年职工的人数为（ ）
A．5B．15C．30D．50
5．函数的图象如图所示，则（ ）
A．1B．C．2D．
6．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．B．C．D．
7．遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：）
A．100小时B．300小时C．1000小时D．3000小时
8．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是( ).
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角等于
B．四棱锥的体积为
C．两条异面直线和所成的角为
D．二面角的平面角的余弦值为
11．函数，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．为增函数D．为非奇非偶函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知函数，的图象的对称中心是 ．
13．某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为 .
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．(13分)如图，已知矩形中，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
16．(15分)黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；
(2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
17．(15分)已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
18．(17分)已知函数.
（1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．(17分)在四棱锥中，，，，，．
(1)证明：与不垂直．
(2)已知内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等．
（ⅰ）求长的最小值．
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下求三棱锥体积的最大值．
《湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷》参考答案
1．B
【分析】结合复数的几何意义，以及复数的四则运算法则，即可求解．
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为，
则，
故
故选：
2．C
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，故.
故选：C.
3．B
【分析】利用线面垂直的性质以及直线间的位置关系判断即可.
【详解】根据题意易知当时，可判断“”推不出“”，如下图：
当时，可知垂直于平面内的所有直线，因此可以推出，
因此“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．A
【分析】根据分层抽样的定义列方程求解出样本总人数，从而可求出抽出的老年职工的人数.
【详解】设抽出的样本总人数为人，则由题意可得
，解得，
所以抽出的老年职工的人数为人.
故选：A
5．C
【分析】根据图像可确定函数定义域，得到的值，又图像过代入可求，得到函数的解析式即可求.
【详解】由图可知函数的定义域为，又定义域为，所以，图像过，，
所以，则，
故选：C.
6．C
【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可．
【详解】因为
，
所以当时，函数取最小值，
函数的最小正周期为．
故选：C
7．C
【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案.
【详解】由题意得，所以，即，
两边同时取以10为底的对数，得，所以.
故选：C.
8．C
【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【详解】设，则，
所以，解得，
，则，
，当且仅当时，等号成立，
的最小值为．
故选：C
9．BC
【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误.
故选：BC
10．ABC
【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由平面即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D．
【详解】如图，
取的中点，连接，则，
而平面，平面，
得，平面
则平面，
所以是直线与平面所成的角为，故A正确；
点到平面的距离为的长度为，
则，故B正确；
易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，
因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确；
连接，由，所以，
又，所以为二面角的平面角，
易求得，
又，，
由余弦定理可得，故D错误．
故选：ABC．
11．ABD
【详解】选项A，由，得，所以A正确；选项B，，由，得，所以，所以B正确；选项C，在定义域内单调递减，在定义域内单调递减，所以C错误；选项D，定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以D正确．
12．
【分析】将看成整体角，利用正切函数的对称中心即可求得.
【详解】由函数可得，，解得：，
即的图象的对称中心是.
故答案为：.
13．0.76/
【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可.
【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比，
则全校教师的平均工资为(千元)，
则教师工资的方差为
.
故答案为：0.76
14．
【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
【详解】
由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为．
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
所以扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)48
【分析】1证明，结合，推出平面，得到；
2说明由1知，推出平面，利用转化求解即可．
【详解】（1）由于在平面上的射影O在上，
平面，又平面，，
又，，
平面，平面
平面，又平面，，
（2）由于为矩形，
由1知，，
平面，平面
平面，平面，
，
，，
，
．
16．(1)，平均数为；
(2).
【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解.
（2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，则；
平均数为.
（2）评分在的频率分别为，
则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为，
从这6人中随机抽取2人，样本空间：
，共有15个结果，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则，共有8个结果，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解；
（2）应用余弦定理得出，再应用得出，即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
18．（1）定义域：，是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，值域为，作图见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）将函数表示为分段函数，利用基本初等函数的基本性质可得出函数的定义域、奇偶性、单调性和值域，并结合解析式作出该函数的图象；
（2）令，可得出不等式在恒成立，然后利用参变量分离法得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围；
（3）令，结合题意可得知关于的方程的两根，，然后利用二次函数的零点分布列出关于、的不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1），，函数是偶函数，
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，
函数的最大值是，无最小值，值域为.
作图如下：
（2）因为关于的不等式恒成立，
令，则，即不等式在恒成立.
当时，因为，所以.
又，所以；
（3）关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解，如下图所示：
当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；
当或时， 方程无解.
设方程的两根分别为、，则，.
令，则.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数基本性质的求得、函数不等式恒成立以及复合型二次函数的零点个数问题，一般利用换元法转化为内层函数和外层函数的零点问题，同时也考查了二次函数的零点分布问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）利用反证法证明.先假设，根据线面垂直的判定定理得到平面，在根据线面垂直的概念得到，利用勾股定理求出的长.在中，根据三边长得到矛盾.
（2）（ⅰ）根据条件，确定点的轨迹，再在平面中，利用面积法求直角三角形斜边上的高，可得长的最小值.
（ⅱ）结合（ⅰ）的结论，降维处理，将空间中的线段放在平面图形中求解，可得三棱锥高的最大值，进而得到三棱锥体积的最大值.
【详解】（1）作出四棱锥，如图1，
在中，，所以．
下面用反证法证明与不垂直：
假设，则由，平面，得平面，
又平面，所以．
作出平面四边形，如图2，连接，设与交于点，
易知，且为的中点，则由，，
得．
在中，，
在中，，这不可能，故假设错误.
所以与不垂直．
（2）（ⅰ）在平面四边形中，易得，，，
如图1，设平面与平面的交线为，
由，得，得，
所以到平面的距离是到平面的距离的2倍，所以．
由，得，得，
所以到平面的距离是到平面的距离的3倍，所以．
所以的轨迹是线段，其中为的三等分点，为的四等分点，则，．
如图3，当时，最短，
由（1）知为直角三角形，，则由等面积法得，，
所以长的最小值为．
（ⅱ）过点作于，过点作平面于，
则．
如图3，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，
直线的方程为，即，
则点到直线的距离，所以．
在平面四边形中，，所以，
则．
所以三棱锥体积的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
C
C
C
C
BC
ABC
题号
11









答案
ABD