重庆市2025_2026学年高二数学上学期开学质量检测试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期开学质量检测试题含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 某高中三个年级共有学生 1200 人，其中高一 500 人，高二 400 人，高三 300 人，该校为了解学生睡眠情
况，准备从全校学生中抽取 60 人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级
应抽取的人数是（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
【答案】A
【解析】
【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意，高二年级应抽取的人数是： 人.
故选：A
2. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的除法运算、共轭复数的概念和复数的几何意义可得结果.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
3. 已知直线 ，m，n 与平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】
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【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项.
【详解】A.若若 ， ，则 的位置关系不确定，包含平行，相交，或异面，故 A 错误；
B. 若 ， ，则 ，故 B 正确；
C. 若 ， ，则 或平行，相交，或 ，故 C 错误；
D. 若 ， ， ，则 ， ， 或 与 相交，故 D 错误.
故选：B
4. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简求解即可.
【详解】由 ，则
故选：B.
5. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和
游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为 2.5 米；上半部分
圆锥的母线长为 米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为 平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡
帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米．
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆
柱的侧面积，进而计算可得答案.
【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥，
由于其母线长为 米，轴截面是面积为 平方米的等腰钝角三角形，
设其高为 ，底面半径为 ，
则有 ，解可得 ，
则上半部分圆锥的侧面积
下半部分圆柱的侧面积
则该组合体的表面积(不含底面) .
故选：A
6. 在 中，设 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意
.
故选：D.
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7. 在 中，内角 的对边分别为 ，下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 为等腰三角形
B. 若 ，则
C. 若 为锐角三角形，则
D. 若 ，则 解的个数为 2
【答案】B
【解析】
【分析】A 选项，得到 或 ，A 错误；B 选项，由向量数量积法则得到 ，
结合余弦定理得到 ；C 选项，由锐角三角形得到 ，结合正弦函数单调性和诱导公式得
到 ；D 选项， ，三角形无解.
【详解】A 选项，若 ，则 或 ，
故 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，A 错误；
B 选项， ，即 ，
由余弦定理得 ，故 ，
所以 ，B 正确；
C 选项，若 为锐角三角形，则 ，即 ，
又 在 上单调递增，故 ，C 错误；
D 选项， ，故 ，则 无解，D 错误
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故选：B
8. 在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有 6 张大小和形状完全相同的卡片，每
张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，
从盒内随机抽取 2 张卡片，若这 2 张卡片上的 2 个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法求出古典概型的概率.
【详解】从盒内随机抽取 2 张卡片，有以下情况：（意气风发、风平浪静），
（意气风发、心猿意马），（意气风发、信马由缰），（意气风发、气壮山河），
（意气风发、信口开河），（风平浪静、心猿意马），（风平浪静、信马由缰），
（风平浪静、气壮山河），（风平浪静、信口开河），（心猿意马、信马由缰），
（心猿意马、气壮山河），（心猿意马、信口开河），（信马由缰、气壮山河），
（信马由缰、信口开河），（气壮山河、信口开河），共有 15 种情况，
其中这 2 张卡片上的 2 个成语有相同的字的情况有（意气风发、风平浪静），（意气风发、心猿意马），
（意气风发、气壮山河），（心猿意马、信马由缰），（信马由缰、信口开河），
（气壮山河、信口开河），共 6 种情况，
所以该游戏的中奖率为 .
故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列关于向量的命题，错误的是（ ）
A.
B. 在边长为 1 的等边 中，
C. 若 ，则
D. 若 ，则向量 的夹角是钝角
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【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，根据向量加法运算的概念进行判断；B 选项，根据向量数量积的概念进行运算并判断；C
选项， 反向共线；D 选项，根据向量数量积的概念知向量 的夹角是钝角或 .
【详解】A 选项， ，A 错误；
B 选项，在边长为 1 的等边 中， ，B 错误；
C 选项，若 ，则 ，C 正确；
D 选项，若 ，则向量 的夹角是钝角或 ，D 错误.
故选：ABD
10. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是 ， ，则下列概率计算正确的是（ ）
A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为
C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解.
【详解】A.该题被攻克为至少有 1 人攻克该题的概率 ，故 A 错误；
B.该题未被攻克的概率为 ，故 B 错误；
C.由 A 可知，该题至少被 1 人攻克的概率为 ，故 C 错误；
D.该题至多被 1 人攻克 概率为 ，故 D 正确.
故选：D
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 M，P 分别为线段 ， 上的动点，则下列
说法中正确的是（ ）
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A. 当 M，P 分别为线段 ， 中点时， ，
B. 取得最小值
C. 当四面体 的四个顶点在同一球面上时，若 ，则球体积为
D. 对任意点 M，平面 平面
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.首先判断 和 的关系，即可判断 A；B.将三角形 和三角形 展成一个平面，根
据 ，即可求解；C.利用补体法，求四面体外接球的半径，即可判断 C；根据几何关系，判
断 平面 ，判断 D.
【详解】对于 A.如图， ， ，
，所以当点 是 的中点时， 与 不垂直，故 A 错误；
对于 B.如图，等腰直角三角形 和直角三角形 展成一个平面，当 三点共线时，此时
最小，为 ，
， ，
，故 B 正确；
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对于 C.四面体 的外接球和四棱锥 是同一个外接球，
可以将四棱锥补成如图的长方体 ，
所以外接球的直径 ，即 ，
所以外接球的体积 ，故 C 正确；
对于 D.如图， 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ，且 ，且 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
同理 ，
且 ，且 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，故 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ，且若 ，则 与 的夹角的余弦值为______．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】根据数量积的公式直接求解即可.
【详解】 ，则 ，又 ，则 ，
故 ，即 ，故 ，解得 .
故答案为：
13. 已知 是虚数单位，若 ，且 ，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数运算的几何意义求解.
【详解】因为 ，
所以复数 对应的点 的轨迹是以 为圆心，以 2 为半径的圆.
如图：
又因为 表示点 到 的距离，
且 ，
所以 .
故答案为：
14. 在锐角 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，S 为 的面积，且 ，则
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的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得 ，再根据同角关系式可得 ，然后利
用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 ，结合条件可得 取值范围，进而求得 的
取值范围，令 ，则 ，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】在 中，由余弦定理得 ，
且 的面积 ，
由 ，得 ，化简得 ，
又 ， ，联立得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
设 ，其中 ，所以 ，
由对勾函数单调性知 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 ，即 的取值范围是 .
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故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 ，进而可
以求解.
四、解答题；本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 对应的边分别是 、 、 ，且 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【 分 析 】（ 1） 根 据 正 弦 定 理 变 化 角 可 得 ， 求 出 ， 在 由 余 弦 定 理
，结合 ，求出 ，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）由三角形内角和为 ，结合 ，化简可得 ，再由锐角三角形求出
，然后求解即可.
【小问 1 详解】
由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ,即 .
由余弦定理知 ，代入数据得 ，解得 ，
所以 ，所以 的面积为 .
【小问 2 详解】
，
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因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 、
分别是 、 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与面 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证四边形 为平行四边形，从而可证 平面
；
（2）利用等积法可求 到平面 的距离，从而可求 与面 所成角的正弦值.
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
因为 分别为所在棱的中点，故 ，
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而 ， ，故 ，
故四边形 为平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）设 ，连接 ，设 到平面 的距离为 .
因为 底面 ， 平面 ，故 ，同理 ，
而 ，故 .
故 ，同理 .
因为 ，而 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，所以 ，
故 ，
又 ，
因为 ，故 ，故 ，
设 与面 所成角为 ，则 .
17. 在△ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ，且△ 面积 .
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（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求当 取得最小值时△ 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角形面积公式求解即可；
（2）利用基本不等式以及向量的线性运算，求出 取得最小值时等号成立的条件，并结已知条件即可
求出三角形的周长.
【小问 1 详解】
由三角形面积公式可知 ，即 ，
∵ ，∴由正弦定理得 ，
两边同时平方得 ①，
由余弦定理得 ，即 ②，
将①②联立得 ，解得 ；
【小问 2 详解】
∵ , ∴ ,
∴ ，
∴由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，此时 的
最小值为 ，
∵ ，∴由正弦定理得 ，∴ ，
∴ ,
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又∵ ,∴ ,
∴△ 为直角三角形，
又∵ 且 ，解得 ， ， ，
∴△ 周长为 .
18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从
中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（ ， ，
， ， ），其中第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积.请根据下
面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰 60%的同学，仅留 40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为
多少合理？
（2）从样本数据在 ， 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从
这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： ，已知这 10 个分数的平均数
，标准差 ，若剔除其中的 96 和 84 两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差．
【答案】（1）73 分合理
（2）
（3）22 25
【解析】
【分析】（1）由题意知可得， 计算可求得 ；根据小长方形的面积和为 1 求得 ，利用频率分
布直方图计算第 60 百分位数即可；
（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取 4 人和 2 人，分别记为 ， ， ， 和 ， ，
列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；
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（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.
【小问 1 详解】
由第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积可知， ，
解得 ，
又 ，解得 ，
所以 ， ，
成绩落在 内的频率为： ，
落在 内的频率为： ，设第 60 百分位数为 ，
则 ，解得 ，所以晋级分数线划为 73 分合理；
【小问 2 详解】
由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取 4 人和 2 人，分别记为 ， ， ， 和 ， ，
则所有的抽样有： ，共 15 个样本点，
“抽到的两位同学来自不同小组”，
则 共 8 个样本点，
所以 .
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
剔除其中的 96 和 84 两个分数，设剩余 8 个数为 ， ， ，…， ，
平均数与标准差分别为 ， ，
则剩余 8 个分数的平均数： ，
方差：
19. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 是 平 行 四 边 形 ， 平 面 平 面 ， 且
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．
（1）求证： ；
（2）当 时，求点 到平面 距离；
（3）当 时，求二面角 的正切值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证.
（2）证明 平面 ，再利用面面垂直的性质求出点 到平面 的距离即可.
（3）作出二面角 的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，则 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， 平面 ，因此 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
【小问 2 详解】
在 中， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
于是点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
在平面 内过 作 于 ，
由（1）知， 平面 ，
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在 中， ，
则 ， ，
所以点 到平面 的距离为 .
【小问 3 详解】
在平面 内过 作 于 M，作 于 N，连接 ，
由（1）得平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，因此 ，
则 即为二面角 的平面角，
设 ， ，由（1）得 ，
则 ，
在 中，由 ，得 ，
在 中，由 ，得 ，
在 中， ，
因此 ，
由 ，得 ，则 ，
所以二面角 的正切值的取值范围为 .
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