重庆市2025_2026学年高二数学上学期期中质量监测试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期期中质量监测试题含解析，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试用时 120 分钟）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算得到复数 ，再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点所在的象限.
【详解】因为 ，
所以在复平面内对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D
2. 已知直线 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. 或 1 B. 0 或 1 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论 ，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.
【详解】当 时， 的斜率不存在， 的斜率为 0，此时 ，不合题意；
当 时，由 可得 ，解得 ，
故选：D
【点睛】本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.
3. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民
长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，
则其中一个节气是立春的概率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，共 种情况，其中一个节
气是立春，有 种情况，用古典概型概率计算公式即可.
【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为 、 、 、 、 ，
则样本空间 ，
记事件 表示“其中一个节气是立春”，则 ，
由古典概型可知 ．
故选：B
4. 已知向量 ， ，若 ，则实数λ=（ ）
A. B. 3 C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解.
【详解】向量 ， ，则 ，
由 ，得 ，所以 .
故选：D
5. 已知直线 与圆 交于 两点，则 （ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解即可.
【详解】解： 圆 的圆心为 ，半径为
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又圆心 到直线 的距离为 ，
则直线与圆相交弦长 ．
故选：C.
6. 虚轴长为 2，离心率 的双曲线两焦点为 ， ，过 作直线交双曲线的一支于 、 两点，且
，则 的周长为（ ）
A. 3 B. 16+
C. 12+ D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
先由条件求出 、 、 的值，再利用双曲线的定义和性质，求出 的周长．
【详解】由于 ， ， ， ， ．
由双曲线的定义知： ①， ②，
又 ，① ②得： ，
，则 的周长为 ，
故选：B
7. 某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了 100 人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频
率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A. 该校约有一半学生成绩高于 70 分 B. 该校不及格人数比例估计为 25%
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C. 估计该校学生成绩的中位数为 70 分 D. 估计该校学生的平均成绩超过了 70 分
【答案】D
【解析】
【分析】由频率分布直方图求得分数在 和 的频率，然后确定分数高于 70 分的频率，低于
60 分的频率，从而可判断 ABC，由频率分布直方图计算均值判断 D．
【详解】由频率分布直方图知分数在 和 的频率为 ,
因此成绩高于 70 分的频率为 ，A 正确；
不及格人数即分数低于 60 分的频率为 ，B 正确；
由选项 A 的计算知 C 正确；
平均成绩为 ，D 错误，
故选：D．
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ，点 在椭圆上且在 轴的上方 若线段 的中点
在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到 垂直平分线段 ，则 ，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求
解．
【详解】
因为椭圆方程为 ，
所以 ， ， ，
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又线段 的中点 在以原点 为圆心， 为半径的圆上，
所以 垂直平分线段 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在直角三角形 中， ，
于是 的面积为 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段 的中点 在以原点 为圆心， 为半径的圆上转化为
垂直平分线段 ，再结合椭圆定义求解.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 若双曲线 的方程为 ，则（ ）
A. 的焦距为
B. 渐近线方程为
C. 的离心率为
D. 的虚轴长为 2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可.
【详解】因为双曲线 的方程为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的焦距为 ，所以 A 正确；
的渐近线方程为 ，所以 B 错误；
的离心率为 ，所以 C 错误；
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的虚轴长为 ，所以 D 正确.
故选：AD.
10. 的内角 的对边分别为 ，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为锐角三角形
C. 若 的外接圆半径是 ，则
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由正弦定理结合题意得 即可求解判断 A；由角 A，B 不确定即可判断 B；由正弦定理
直接求出 a 即可判断 C；由 为锐角， 为钝角时即可判断 D.
【详解】对于 A：由正弦定理及 可得 ，即 ，由 ，知
，A 正确；
对于 B： ，则 为锐角，但是角 A，B 不确定，故 B 错误；
对于 C：由正弦定理得 ，C 正确；
对于 D：若 为锐角， 为钝角，则 错误.
故选：AC.
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 是侧面 内的一点， 是线段 上的一
点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过 的平面截此正方体所得的截面为四边形
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B. 当 为棱 的中点时，过点 的平面截该正方体所得的截面的面积为
C. 点 到直线 的距离的最小值为
D. 当 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意和正方体的性质、空间点到直线的距离、圆的定义等，逐项分析即可解出.
【详解】选项 A，如图 1 所示，连接 ，在 上任取一点 ，连接 ，
过 在侧面 作 ， 与 的交点为 ，连接 ，得 四点共面，
在 上都有类似结果， 在其它棱上时，截面都是正方体的对角面，
所以过 的平面截此正方体所得的截面为四边形，所以 A 正确；
选项 B，如图 2 所示，取 中点 ，根据 分别为 中点，易得 ，所以
四点共面，该截面为四边形且为等腰梯形，
又 ，
所以等腰梯形的高 ，
所以截面的面积为 ，所以 B 错误；
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选项 C，如图 3 所示，建立空间直角坐标系，可得 ，所以 .
设点 ，所以 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以 时，距离最小，最小为 ，所以 C 正确；
选项 D，如图 4 所示，取 的中点 ，连接 ，易得 平面 且 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 ，
则点 在侧面 内的运动轨迹为以点 为圆心，以 2 为半径的劣弧，其圆心角为 ，
所以点 的轨迹长度为 ，所以 D 正确.
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故选：ACD.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若椭圆 上一点 P 到该椭圆一个焦点距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为________.
【答案】7
【解析】
【分析】先求出 ，再应用椭圆定义计算求解.
【详解】因为椭圆 ，所以 ，
因为椭圆上一点 P 到该椭圆一个焦点距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为 .
故答案为：7.
13. 若双曲线 的右支上一点 到右焦点的距离最短为 ，则双曲线为 的渐近线方程为
_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的性质得到 ，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程.
【详解】双曲线 ，则 ，
又右支上一点 到右焦点的距离最短为 ，即 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以双曲线 ，则双曲线 的渐近线方程为 .
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故答案为：
14. 已知圆 和圆 ，M、N 分别是圆 C、D 上 动点，P
为 x 轴上的动点，则 的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】先得到 ，当且仅当 三点共线，且 三点共线时，等号
成立，设 C 关于 x 轴的对称点 ，求出 的最小值，进而得到 的最小值.
【详解】 的圆心为 ，半径为 1，
，圆心为 ，半径为 2，
结合两圆位置可得， ，
当且仅当 三点共线，且 三点共线时，等号成立，
设 C 关于 x 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，此点即为所求，
此时 ，
故 即为 的最小值，
故 的最小值为
故答案为：
四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）已知两直线 ，求过两直线的交点，且垂直于直线 的
直线方程；
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（2）已知直线 过点 ，且交坐标轴正半轴于 两点，当 的面积最小时，求 的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）法 1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法 2：设直线系方程，再利用垂直关系求出；
（2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可.
【详解】（1）法 1：联立 ，解得 ，
与直线 垂直的直线斜率为 ，
所以经过 与 交点 且与 垂直的直线方程为： ，即 ；
法 2：经过直线 交点的直线设为： ，
即 ，
因其与直线 垂直，所以 ，解得 ，
所以所求直线方程为 .
（2）设 ，则 ，
因直线 过 ，所以 ，则 ，等号成立时 ，
所以 的面积 ，
此时 的周长为 .
16. 已知圆 经过点 和原点，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程：
（2）过点 作圆 切线，求切线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设圆心坐标，根据两点距离公式建立关于 m 的方程，解方程，求出半径即可求解；
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（2）如图，当切线的斜率存在时，设切线方程，利用点到直线的距离公式计算求出斜率即可；易知当切线
的斜率不存在时切线方程为 .
【小问 1 详解】
由题意知，设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，半径为 ，
故圆的标准方程为 .
【小问 2 详解】
如图所示，点 在圆外，则过点 的圆的切线方程有两条.
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，而圆的半径为 ，
则 ，解得 ，所以切线方程为 ；
当切线的斜率不存在时，则 与圆相切.
综上，切线方程为 或 .
17. 在锐角 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 ．
（1）求 B；
（2）若 ， 面积为 ，求 a，c 的值．
【答案】（1）
（2） ， 或 ，
【解析】
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【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式，结合题设化简求解即可；
（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由面积公式得 ，于是 ，
由余弦定理得 ，则 ，
即 ，则 ，故 ，
解得 ， 或 ， ．
经验证，两种情况均为锐角三角形，符合题意.
18. 如图所示，直角梯形 中， ， 垂直 ， ，四边形 为
矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的正弦值；
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（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，线段 的长为
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用空间向量证明线面平行；
（2）求平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值；
（3）设 ，由线面角的向量求法求出 ，得到 坐标，求出 长度.
【小问 1 详解】
取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 .
且 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
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因为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
可得 ，
所以平面 与平面 夹角正弦值为 .
【小问 3 详解】
设 ，
则 ，可得 ，
因为平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上 ，即在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时线段
的长为 .
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19. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，长轴长为 ，直线
的倾斜角为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 上 两动点 ， 均在 轴上方，且 ，求证： 的值为定值；
（3）在（2）的条件下求四边形的 的面积 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆长轴以及直线 的倾斜角即可得椭圆方程；
（2）找出点 关于原点的对称点 ，利用对称性联立直线和椭圆方程整理表达式可得结果；
（3）将四边形面积等价转化为三角形面积，求得面积表达式利用基本不等式计算可得结果.
【小问 1 详解】
由长轴长为 ，可得 ， .
因为点 上顶点，直线 的倾斜角为 ，
所以 中， ，则 ，
又 ，则 .
椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ， ， ， ，
设 关于原点的对称点 ，如下图所示：
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由对称性可知 三点共线，且 .
设 代入椭圆方程整理可得 ，
易知 ，
且 ， ；
所以 ，
又 ，
所以 .
【小问 3 详解】
四边形 为梯形，由对称性可知四边形 的面积与 的面积相等，
点 到直线 的距离为 ，
易知 ，
所以 ，
令 ，则
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所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立；
四边形的 的面积 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系充分利用对称性，将四边形面积转化为三角形面积，得
出面积表达式再利用基本不等式求得面积取值范围.
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