湖南省长沙市2025_2026学年高一数学上学期综合能力检测入学考试试卷含解析

这是一份湖南省长沙市2025_2026学年高一数学上学期综合能力检测入学考试试卷含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、标志等作品的设计上.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.
【详解】观察可知，只有A对应的图案是轴对称图形.
故选：A
2. 下列命题错误的个数有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点.
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理、圆周角性质、确定圆的条件、反比例函数图象性质、三角形的内心性质和外心定义逐一分析即可得出结果.
【详解】因为平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ，所以①错误；
因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确；
因为经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以③错误；
因为，所以反比例函数的图象在一、三象限，
当时，，当时，，，与y随x 的增大而减小矛盾，所以④错误；
因为三角形的内心到三角形三条边距离相等，三角形三边的垂直平分线的交点叫做外心，所以 ⑤正确.
综上，①③④错误.
故选：C.
3. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45 座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每位学生和老师都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A. 3种B. 4种
C. 5种D. 6种
【答案】B
【解析】
【分析】设租用45 座客车辆、租用60座客车辆，再列出方程并求出正整数解的个数即可.
【详解】设租用45 座客车辆、租用60座客车辆，都是正整数，
则，即，因此，
由都是正整数，得是小于20的4的正整数倍，
则有或或或，
所以租车方案有4种.
故选：B
4. 两个二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根据抛物线对称轴和抛物线与轴的交点坐标进行判断.
【详解】由二次函数与知，
这两个抛物线与轴的交点坐标相同，故排除选项C，
这两个抛物线的对称轴分别为和，对称轴的符号相同，
即这两条对称轴在轴的同侧，故排除选项A和B.
故选：D
5. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ）
A. -12B. -9
C. -6D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数中的几何意义及图形面积的割补法求解.
【详解】反向延长交于点，设，则，
∵轴，轴，∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过两点，∴，
，，
则
，解得.
故选：.
6. 如图，为半圆上的一条弦，将沿着弦对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则 的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称的性质，结合圆的切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理列式求值即可.
【详解】如图：

设为点关于直线的对称点，连接交于.
不妨设，，则，，
因为，为中点，所以.
在直角中，.
又，关于对称，所以.
又与直线相切，所以.
在直角中，，
所以.
又，所以.
所以，.
所以.
故选：C
二、填空题(本题共6小题，每小题6分，共36分.)
7. 分解因式：_______.
【答案】
【解析】
分析】利用提取公因式法结合完全平方公式以及平方差公式即可求得答案.
【详解】
,
故答案为：
8. 已知，则锐角的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值和余弦的单调性求解即可.
【详解】因为角是锐角，且，
所以由余弦函数的单调性可得，
故答案为：
9. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率．
【详解】二次函数的图象不经过第四象限，
则对称轴且或顶点纵坐标，
即或，
由题意，两次摸球的数字组合可能有：
，共9种，
其中符合条件的组合有，共5种，
所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为.
故答案为：.
10. 对于定义了一种新运算，规定.若关于的不等式组恰好有 3个整数解，则实数的取值范围是__________ .
【答案】
【解析】
【分析】根据题中定义将不等式转化为，解不等式组，再由不等式组恰好有 3个整数解得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意，将不等式组转化为，
解得且，则不等式组的 3个整数解为，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
11. 我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数，令表示不超过的最大整数，例如，，，令 那么_______.
【答案】2007
【解析】
【分析】采用分离常数的方法，将化成的形式，再探究随着的变化，的值的变化情况，即可求解.
【详解】因为，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以，所以.
所以.
故答案为：2007
12. 已知函数现有下列五个结论：①图象过点 ；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段；④若 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在图象上，且 则 ；⑤若在图象上， 且 则 其中正确的结论有________.(填写序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】通过代入点的坐标和解析式的特点可判断①②③，利用特例可判断④，利用换元法结合变量间关系可判断⑤.
【详解】对于①，当时，，即图象过点；①正确，
对于②，，当且仅当时，取到最小值，所以图象的最低点坐标为；②正确，
对于③，由于，所以图象分为两段，无限趋近于0时，无限趋近于，所以图象无最高点；③正确，
对于④，当时，，④不正确；
对于⑤，因为，所以，令，则，
且，，⑤正确.
故答案为：①②③⑤
三、解答题(本题共5 小题，14、15 小题每小题9分，其余每小题12 分，共54分.)
13. （1）计算: ；
（2）先化简，再求值:其中.
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据绝对值含义以及幂的运算，化简求值，即得答案；
（2）结合分式运算先化简，再代入求值，即得答案.
【详解】（1）
；
（2）
，
当时，，即.
14. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
（1）两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
【答案】（1）型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人.
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.
【解析】
【分析】（1）设型号的客车每辆载客量是人，根据题意列出方程，即可求解；
（2）设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆，租车费用是元，
根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
由已知设型号的客车每辆载客量是人，则型号的客车每辆载客量是人.
根据题意有，解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
所以（人）.
答：型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人.
【小问2详解】
设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆.
根据题意有，解得.
设本次研学活动学校的租车费用是元.
则有
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，随着的增大而增大，
又因为取正整数，且，
所以当时，取得最小值，
且最小值为（元）.
答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.
15. 已知方程 (k为常数).
（1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实根为 ，求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况.
（2）利用韦达定理，结合，可求的最小值.
【小问1详解】
因为
.
所以方程恒有两个不相等的实数根.
【小问2详解】
设该方程的两个实根为 ，
则，，
所以.
所以的最小值为1，当且仅当时取等号.
16. 如图1，已知内接于⊙O，，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC 的延长线于点M，连接CD.

（1）求证:；
（2）若，求CD的长；
（3）如图2，连接BD分别交线段AF和线段AC于点G和点H，若且，请用含n的值表示的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形性质及圆内接四边形性质推理得证.
（2）利用等腰三角形及圆的对称性可得，再利用勾股定理及相似三角形性质求出.
（3）连接，过点作于，利用等腰三角形及圆的性质可得平分，平分，再借助三角形面积公式导出比例式，进而求出目标值.
【小问1详解】
中，由，得，
由四边形内接于⊙O，得，
而，则，所以.
【小问2详解】
在中，，又是外接圆的直径，则，，
由，得，，，
由勾股定理得：，
由，得，又，
因此，， 即，
所以
【小问3详解】
连接，过点作于，设，
由，得，，
则，则，
于是，则,平分，
在中，设边上的高为，
由平分，得，
则，因此，
又，则平分，
同理得： ，而，则，即，
而，则，即，又，
所以.
17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；
（3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点和对称轴公式列方程组求出即可；
（2）根据题意解出直线方程，讨论左右平移时与线段的交点即可求解；
（3）解法一：先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可；解法二：分别将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出点坐标，由轴可知平分时，代入斜率公式求解即可.
【小问1详解】
因为抛物线过点，且对称轴为直线，
所以，解得，
所以抛物线的解析式为.
【小问2详解】
当时，直线为，
令解得，令解得，所以，，
所以，将代入解得，所以直线方程为，
因为抛物线可由平移得到，
当点在抛物线上，由解得或，
结合图象可知至多向右平移个单位，
当的图象向左平移至与有一个交点时，
联立得，
令解得，
此时由解得，即交点坐标为，在线段上，
结合图象可知至多向左平移个单位，
综上的取值范围为.
【小问3详解】
解法一：因为直线，所以当时，，即，
（根据对称性在这里不妨只考虑的情况）
因为所以抛物线的对称轴为直线，所以点在抛物线的对称轴上，
因为过点，且与直线垂直，所以，
设直线的解析式为，将代入得，故，
在直线上取点，,在上取点，使，作轴，轴，
则，，
，,所以
所以，
所以，则，，
所以，解得，
所以直线的解析式为，即：，
联立整理，得，
所以，，
由为的中点，得，
联立，同理可得，
假设存在点，设，使得总是平分，
如图，作，
因为平分，所以，故，
所以，则，
由于要在同一侧，故 同正或者同负，解得
所以抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
解法二：对于直线令解得，所以，则在抛物线对称轴上，
联立得，设，，
由韦达定理可得，
因为是中点，所以点横坐标，则，即，
因，且，所以，
又直线过点，所以直线方程为，
联立得，设，，
由韦达定理可得，
因为是中点，所以点横坐标，则，即，
因为轴，所以平分时,，
设，则，
所以对任意恒成立时，解得，
材料一
租车公司有两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同.
材料二
型客车租车费用为 3200 元/辆；型客车租车费用为 3000元/辆.优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折.
材料三
租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用两种型号客车共10辆.