2024-2025学年河北省沧州市九年级下学期初中学业水平测试数学试题

这是一份2024-2025学年河北省沧州市九年级下学期初中学业水平测试数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在和之间的正整数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（ ）
A．被3整除B．被9整除C．被10整除D．被11整除
3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的和为2，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，有标记为①、②、③、④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（ ）
A．B．C．D．
6．某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（ ）
A．依据题意得
B．依据题意得
C．该款羽绒服可以打折
D．该款羽绒服最多打折
7．如图，在的正方形网格图中，将平移到的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：线段的长可以看作平移的最短距离；
乙：连接，四边形是平行四边形
A．只有甲的对B．只有乙的对
C．甲、乙的都对D．甲、乙的都不对
8．如图是用12个大小相同的正方体搭成的长方体（正方体用胶水相互紧密粘连），分成两部分，其中一部分有7个正方体，则“？”一部分几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ）
A．B．C．D．
10．如图，RtABC中，,，D、E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=（ ）
A．1B．C．D．2
11．一条灌溉水渠的部分如图所示，已知从B处沿北偏西方向到C处，段与段的夹角，则E处相对于C处的方向是（ ）
A．北偏东B．北偏东C．北偏西D．北偏西
12．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角为90．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶9s
B．从F口出比从G口出多行驶40m
C．甲车从F口出，乙车从G口出
D．立交桥总长为120m
二、填空题
13．如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形且点与点C是一对对应点，点的坐标为（1，1），点的坐标为（4，2），则它们的位似中心的坐标是 ．

15．点A的位置如图所示，将点A竖直向下平移3个单位长度，到达点B，则点B的坐标为 ．
16．如图，直线与直线（a为常数）的交点在第三象限，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式．
(1)直接写出算式的结果；
(2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果．
18．小丁和小迪分别解方程过程如下：
(1)你认为小丁的解法_____，小迪的解法_____；（填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
19．某店在统计某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
(1)求出图1中的值及这个月内该商品的平均日销售量；
(2)求该商品的日销售量的中位数和众数；
(3)店长在检查数据时发现，该商品在这个月的实际日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了．若将上述错误更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的实际销售量为 件．
20．中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：
如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，利用上述结论求的面积．
21．如图，已知为的直径，点在的延长线上，点是上的两点，连接，，，，，其中，是的切线．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的半径．
22．如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值；
(3)若线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在y轴上，请直接写出的取值范围．
23．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．

(1)求二次函数的关系式；
(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；
②求的最大值．
24．如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒．
(1)求的长度；
(2)当的长度最小时，求t的值；
(3)嘉嘉：“在点P由点A运动到点B的过程中，点Q到直线的距离逐渐减小．”判断嘉嘉的说法是否正确．并说明理由；
(4)连接，当点Q在的内部（包括边界）时，直接写出点P的运动路径长．
小丁：
解：去分母，得
去括号，得
解得
∴原方程的解是
小迪：
解：去分母，得
去括号得
合并同类项得
解得
经检验，是方程的增根，原方程无解
《2025年河北省沧州市初中学业水平测试数学试卷 》参考答案
1．C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是估算出和的范围．
先估算无理数的范围，再求出和之间的正整数即可．
【详解】解：，
，
，
在和之间的整数有，0，1，2，正整数有1，2共2个．
故答案选：C．
2．D
【分析】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，求出的值，因式分解后，进行判断即可．
【详解】解：由题意，
，
∴的值总能被11整除；
故选D．
3．A
【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系、根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，易错点容易忽略二次项系数不为0．
先根据一元二次方程的定义以及有实数根得到且，再由根与系数的关系即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得且．
∵方程的两个实数根之和为2，
∴，解得，此时方程有实数解，
故选：A．
4．C
【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可．
【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿，
由此可知，
故选C．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．
5．D
【分析】本题主要考查科学记数法和有理数乘法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的定义：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式，，n为整数．
【详解】根据题意，圆④中所填写的数，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据标价×打折-进价=利润，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意可列方程，．
解不等式得，
∴最多打折．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对甲、乙的说法分析判断即可．
【详解】解：平移到的位置，
∴线段的长可以看作平移的最短距离，甲的说法正确；
由平移的性质得，，
∴四边形是平行四边形，乙的说法正确．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【详解】根据题意得，“？”一部分几何体的左视图是：
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到．
∴，，
∴，
∴，，
∴；
故选：B
10．A
【分析】根据勾股定理求得，进而根据三角形中位线定理求得，根据已知条件可知是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可求得．
【详解】 RtABC中，，
由勾股定理得：
，
分别为的中点，
，
，
，
∠EAP=∠ABP，
，
，
是直角三角形，
为的中点，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查与方向角有关的计算，平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，求出的度数即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，
∴；
∴E处相对于C处的方向是北偏东；
故选B．
12．B
【分析】根据题意、结合图象问题可得．
【详解】解：由图象可知，甲车驶出立交桥时，一共行驶的时间为3+2+3＝8（s），故选项A不合题意；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为4s，则走40m，故选项B符合题意；
甲车先驶出立交桥，乙车后驶出立交桥，所以甲车从G口出，乙车从F口出，故选项C不合题意；
图中立交桥总长为：3×3×10+3×2×10＝150（m），故选项D不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意、数形结合是解决问题的关键
13．8
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可．
【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间，
，
，
与的积为有理数，且，
，
故答案为：8
14．（-2，0）
【分析】利用待定系数法求出直线CF的解析式，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F与点C是一对对应点，
∴点B与点E是对应点，
∴它们的位似中心在x轴上，且与直线CF相交，交点为H，如图：

设直线CF的解析式为，
则，
解得：，
∴直线CF的解析式为，
当y=0时，x=-2，
∴它们的位似中心的坐标是（-2，0），
故答案为：（-2，0）．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数解析式的确定，掌握如果两个图形是相似图形，它们的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键．
15．
【分析】本题考查坐标平移变换，具体涉及竖直平移对坐标的影响（横坐标不变，纵坐标变化），解题的关键是掌握平移规律．根据平移规则，竖直向下平移时，横坐标保持不变，纵坐标减少相应单位，据此回答即可．
【详解】解：点竖直向下平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标减3，则点，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质以及交点坐标问题，解题的关键是求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合第三象限的坐标特征确定的取值范围．先求出直线与轴的交点，再根据直线与直线的交点在第三象限，确定的取值范围．
【详解】当时，，
∴直线与轴交于点，
，
∵直线与直线（为常数）的交点在第三象限，
，
故答案为：．
17．(1)102
(2)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算括号，然后进行乘方运算即可；
（2）根据题意列式，计算求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：由题意列出算式为，
原式，
∴所列算式的计算结果为．
18．(1)错误，错误
(2)，过程见解析
【分析】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误；
（2）解：
去分母，得
去括号得，
解得，
检验，将代入
∴原方程的解是．
19．(1)，这个月内该商品的平均日销售量为25件
(2)中位数为26件，众数为24件
(3)27
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的应用以及平均数、中位数、众数的计算，解题的关键是从统计图中获取有效信息，并掌握相关统计量的计算方法．
（1）先根据26件的数量和所占比例求出总天数，进而求出的值，再根据平均数公式计算平均日销售量；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）根据中位数不变和众数唯一的条件确定实际销售量．
【详解】（1）解：日销售量为26件的天数是9天，占总天数的，
总天数为天，
，
平均日销售量
（件），
答：图1中的值是10，及这个月内该商品的平均日销售25件；
（2）解：将这组数据从小到大排列：20出现4次，24出现10次，26出现9次，28出现7次．
总共有30个数据，第15，16个数据都是26，所以中位数是26；
24出现的次数最多，所以众数是24．
答：中位数为26，众数为24；
（3）解：原来数据中24出现10次，26出现9次，28出现7次，20出现4次，
更正后中位数不变，还是26，且众数唯一，
当天的销售量不是26件，
日销售量这组数据中位数不变，且原中位数是26，
当天的销售量不低于26件，
该时段的实际日销售量均不大于28件，
若将28件中的一件更正，要使众数唯一且中位数不变，只能把28件改为27件，这样24出现10次，26出现9次，27出现次，20出现4次，满足条件，
答：该天的实际销售量为27件．
20．(1)详见解析
(2)44
【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息．
（1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形；
（2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解．
【详解】（1）证明：点D，E分别是的中点，
．
，
，
．
同理可得：，，
，
四边形为矩形．
（2）解：点D，E分别是的中点，
是的中位线，
，
由（1）可知，，
，
．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理及切线性质得到，由直角三角形性质即可得到答案；
（2）由切线性质及圆周角定理的推论得到，从而确定，再由相似三角形的判定即可得证；
（3）设的半径为，由含的直角三角形性质得到，进而列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
，
在中，所对的圆心角，
又是的切线，
，
在中，，
；
（2）证明：是的切线，
．
为直径，
，
，
．
又，
．
又为公共角，
；
（3）解：设的半径为，
在中，，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、切线性质、直角三角形性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握圆周角定理及相关几何性质是解决问题的关键．
22．(1)直线的函数解析式为
(2)整数k的值为或
(3)
【分析】本题主要考查一次函数，轴对称图形的性质，掌握待定系数法，轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）当时，点的坐标为，分类讨论：当直线经过点时，当直线经过点时，代入计算即可求解；
（3）根据轴对称图形的性质，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，且直线经过点，，
∴，
∴，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：当时，点的坐标为，
当直线经过点时，可列方程为，
解得，
当直线经过点时，可列方程为，
解得，
∴，
∴整数k的值为或．
（3）解：．
如图，设线段关于直线的对称线段为，则垂直平分线段和，分别交于点，
若点恰好在y轴上，
∴为等腰直角三角形
∵点，
∴点P的坐标为．
当点P向上平移时，线段与y轴有交点，即线段上存在一点M，使得点M关于直线的对称点在y轴上，
∴．
23．(1)
(2)①，；②
【分析】（1）将、代入抛物线得方程组求解即可得到答案；
（2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案．
【详解】（1）解：将、代入抛物线可得，
，
解得，
二次函数的关系式；
（2）解：①由（1）知二次函数的关系式，
点是抛物线的顶点，
，
设直线的解析式为，
将、代入得，
，解得，
直线的解析式为，
过点作轴于点，点的横坐标为，
、，
的面积为，
、，
；
②由①知，，
，
，满足，
的面积有最大值，为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
24．(1)10；
(2)；
(3)嘉嘉的说法不正确；理由见解析；
(4)．
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论是解题的关键；
（1）根据三角函数求出，再根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据题意证明是等腰直角三角形，当的长度最小时，的长度最小．当时，的长度最小，再根据三角函数计算结果即可；
（3）分别过点，作的垂线，证明，当时，点到的距离为0，此时，得到在点由点运动到点的过程中，点到直线的距离先逐渐减小，再逐渐增大，即可得到结论；
（4）分当点在上时，当点在上时两种情况进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：在中，，
根据勾股定理可得；
（2）解：是的中点，
．
线段绕点逆时针旋转得线段，
是等腰直角三角形，
，
，
当的长度最小时，的长度最小．
当时，的长度最小，
此时，
，
解得；
（3）解：嘉嘉的说法不正确；
理由：如图，如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，点到的距离为0，此时．
当时，点从点向右运动过程中，逐渐减小，
逐渐减小，即点到直线的距离逐渐减小．
当时，点向点运动时，逐渐增大，
逐渐增大，即点到直线的距离逐渐增大，
即在点由点运动到点的过程中，点到直线的距离先逐渐减小，再逐渐增大，所以嘉嘉的说法不正确；
（4）解：点的运动路径长为．
如图，当点在上时，
是的中点，
，
，
又，
，
，
解得，
，
当点在上时，，由（3）可得，
，
当时，得到．
又点到的最短距离为4，
，
此时点都在的内部．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
D
D
C
C
B
A
题号
11
12








答案
B
B