海南省2024-2025学年高三学业水平诊断（五）数学试题（解析版）-A4

这是一份海南省2024-2025学年高三学业水平诊断（五）数学试题（解析版）-A4，共19页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故.
故选：A.
2. 椭圆焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的方程得到的值即可得出焦距.
【详解】在椭圆中，，，，
即椭圆的焦距为，
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，分清及其间的关系是解题的关键，属于基础题.
3. 某公司制订了一个为期一年的增产计划，每月产量都比上个月多m箱，已知第3个月的产量为46箱，前7个月的总产量为378箱，则第1个月的产量为（ ）
A. 36箱B. 34箱C. 32箱D. 30箱
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求得，结合即可得到答案.
【详解】设第个月的产量为箱，因为每月增加的产量为箱，
，所以，
所以 ．
故选：D.
4. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二项展开式的通项，令的指数为零即可求得.
【详解】展开式的通项为：
，
由可得，
因此，展开式中的常数项为.
故选：B.
5. 先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的最小正周期，结合三角函数图象变换可求得函数的解析式.
【详解】函数的最小正周期为，
将函数的图象向右平移个最小正周期，可得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
故.
故选：A.
6. 已知是定义在上奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可.
【详解】当时，，则函数在上为增函数，且，
由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且，
当时，由，可得；由，可得；
当时，由，可得；由，可得.
接下来解不等式，
当时，即当时，则可得或，可得；
当时，即当时，则可得或，可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：C.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】由可得，即，
由题意可得，解得，
所以.
因此.
故选：D.
8. 若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知不等式变形得出，分、、三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出的取值范围.
【详解】由可得，
即对任意的恒成立，即，
令，其中，则对任意的恒成立，
即函数在上为增函数，
考虑当时，，此时，
要使得对任意的恒成立，
当时，则有显然成立；
当时，，由可得或，
此时或；
当时，，由可得或，
由于当时，，则显然不等式，即，则，
综上所述，或，故的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则（ ）
A. 在复平面内对应的点在第二象限B.
C. D. 的虚部为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数运算可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，A错；
对于B选项，，故，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，故的虚部为，D错.
故选：BC.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，过点且垂直于轴的直线交于、两点，直线（为坐标原点）交于另一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的离心率为
C. 若的面积为，则的虚轴长为
D. 若、、成等差数列，则的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由双曲线的对称性可判断A选项；求出、的值，根据可求出该双曲线离心率的值，可判断B选项；根据的面积为求出的值，进而可得出的值，可判断C选项；根据题意得出，可求出、的值，即可判断D选项.
【详解】如下图所示：
因为轴，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，点、关于原点对称，
所以，，易知点，故，A对；
对于B选项，将代入双曲线方程可得，可得，即，
易知，且、关于轴对称，
因为，即，可得，
等式两边同时除以得，
因为，解得，B错；
对于C选项，因为，则，
因为、关于轴对称，则，且，，
故，解得，故，
则的虚轴长为，C对；
对于D选项，若、、成等差数列，即，即，
因为，解得，故，则的方程为，D对.
故选：ACD.
11. 以两条异面直线中的一条为轴，另一条绕其旋转一周所得曲面为单叶双曲面，单叶双曲面的轴截面是双曲线．棱长为的正方体绕直线旋转一周得到旋转体（不考虑重叠），如图，的中间部分为单叶双曲面围成的几何体，则（ ）
A. 的高为（高指上、下底面之间的距离）B. 的侧面积小于
C. 的体积小于D. 的水平截面的面积的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算出平面和平面间的距离，即为的高，可判断A选项；计算出与同底且等号的圆柱的侧面积和体积，利用的侧面积大于该圆柱的侧面积，可判断B选项；利用的体积小于该圆柱的体积，可判断C选项；求出异面直线与间的距离，可得出的水平截面圆最小的半径，可判断D选项.
【详解】在正方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
，
，，，
所以，，，则，，
因为，、平面，所以，平面，
同理可证平面，
对于A选项，由题意可知，几何体的上、下底面圆由、绕旋转而成，
所以的高为为平面和平面间的距离，A对；
对于B选项，几何体的底面圆半径为（即为外接圆的半径），
易知几何体的侧面积大于与其同底且等高的圆柱的侧面积，
故几何体的侧面积大于，B错；
对于C选项，由题意可知，旋转体上下两个圆锥的高为点到平面的距离，
即为，
而几何体的体积小于以其共底面圆且高为的圆柱的体积，
故几何体体积小于，C对；
对于D选项，的水平截面圆的最小半径即为异面直线与间的距离（即异面直线与公垂线段的长度），
不妨取线段的中点、线段的中点，
，，
则，，故，，
所以，异面直线与间的距离为，
故的水平截面的面积的最小值为，D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知变量x和y的统计数据如下表
若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据经验回归直线经过样本中心点求解.
【详解】易知，，
经验回归直线过样本点的中心，
所以，则．
故答案为：
13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增，
所以内层函数在上为减函数，
且对任意的，恒成立，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知的外心为，满足，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意作图，取BC的中点D，则有，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出，，，代入已知得，由余弦定理表示，再由基本不等式可求得的最小值.
【详解】依题意作图，取BC的中点D，连接OD，AD，
在中，记，，，
因为的外心为O，则，
因为，
又，
所以，
同理可得，，
由得，，
即.
在中，由余弦定理得，
，
又，当且仅当时，等号成立，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共7分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
15. 记数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
因为，当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
则，
上述两个等式作差得
，
因此，.
16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD为矩形，平面平面，，，O，E分别为CD，的中点．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三线合一得，再利用面面垂直的性质定理即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角得空间向量求法即可得到答案.
【小问1详解】
如图，连接．因为，所以，
又，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面
【小问2详解】
如图，取的中点，连接，由已知可得两两互相垂直．
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，得．
易知是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义求解即可；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合零点存在定理进行分析，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
由可得，
设，则函数在区间上单调递增，且，，
当时，当时，，，即函数在区间上单调递增，
则，即函数在区间上没有零点；
当时，即当时，当时，，，即函数在区间上单调递减，
则，即函数在区间上没有零点；
当时，，，则存在，使得，
当时，，，函数在上单调递减，
当时，，，函数在上单调递增，
因为，要使得函数有零点，需满足，解得，
综上所述， 实数的取值范围是.
18. 甲公司设计的健身APP可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”，根据统计数据，活跃用户有70%能完成健身计划，普通用户仅20%能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为．
（1）若从所有用户中随机抽取1人，求该用户是活跃用户的概率；（用表示）
（2）若，从未完成健身计划的用户中随机抽取1人，求该用户是普通用户的概率；
（3）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得50元收益，从每个未完成健身计划的用户处可获得10元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本，设一个用户给甲公司带来的净利润（净利润=收益-维护成本）为元，当满足什么关系时，的数学期望与无关?
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据活跃用户与普通用户的人数比值来计算抽取活跃用户的概率.
（2）利用条件概率公式进行计算.
（3）先分别求出不同用户完成和未完成健身计划时的净利润，再计算数学期望，最后分析使其与无关的条件.
【小问1详解】
设活跃用户的比例为，普通用户的比例为.
所以，化简得,
所以.
【小问2详解】
当时，活跃用户的概率为，普通用户的概率为.
活跃用户未完成健身计划的概率为.
普通用户未完成健身计划的概率为.
所以未完成健身计划的用户中普通用户的概率为.
【小问3详解】
一个活跃用户完成健身计划时，给公司带来的净利润为，概率为.
一个活跃用户未完成健身计划时，给公司带来的净利润为，概率为.
一个普通用户完成健身计划时，给公司带来的净利润为，概率为.
一个普通用户未完成健身计划时，给公司带来的净利润为，概率为.
所以数学期望为：
化简得：
要使得与无关，则，即.
19. 已知抛物线与圆没有公共点，过上一动点作圆的两条切线，切点分别为、．
（1）求实数的取值范围．
（2）若，求的最小值．
（3）设直线、分别交于另一点、，是否存在实数，使得当点在上运动时，直线总与圆相切?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，将两曲线方程联立，结合可求得实数的取值范围；
（2）设点，，要使得最小，只需最大，即最大值，利用二次函数的基本性质求出的最大值，即可得出的最小值；
（3）假设存在实数满足题中条件，则，切线、的方程分别为、，求出、的坐标，求出直线的方程，根据直线与圆相切求出的值，然后证明出当时，对于上任意一点，直线总与圆相切即可.
【小问1详解】
由已知可得圆的圆心为，半径为，
当时，易知曲线与圆没有公共点；
当时，联立得，消去得，
由，解得，
因此，实数的取值范围是.
【小问2详解】
当时，圆的圆心为，半径为，
设点，，
要使得最小，只需最大，即最大值，
，
当时，取最大值，
所以的最小值为.
【小问3详解】
假设存在实数满足题中条件，则，
如图，当与坐标原点重合时，设切线、的方程分别为、，
则圆心到直线的距离为，可得①，
将、代入抛物线方程，得、，则直线的方程为，
由直线与圆相切可得②，由①②解得（负值已舍去）；
下面证明当时，对于上任意一点，直线总与圆相切，
设点、、，
则直线的方程为，即，
同理可得直线的方程为，
所以直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，即，
同理由直线与圆相切得，
则、为方程的两个不等的实根，
则，，
点到直线的距离为，
即直线与圆相切，
综上所述，存在，使得当点在曲线上运动时，直线总与圆相切.
x
1
2
3
4
5
y
4
6
7
m
8