海南省2023届高三学业水平诊断（五）数学试题（含解析）

海南省2023届高三学业水平诊断（五）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数，则（    ）．

A．i B． C． D．

3．已知为幂函数，则（    ）．

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

4．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．

A． B．

C． D．

5．从5对夫妻中任选4人，这4人恰好是2对夫妻的概率为（    ）．

A． B． C． D．

6．若两条直线和均与圆相交，且依次连接四个交点得到一个矩形，则（    ）．

A．4 B．2 C． D．

7．若函数与的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形，则正实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

8．设函数在R上的导函数为，在上，且，有，则（    ）．

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，则 B．的取值范围为

C．满足的的值有2个 D．存在，使得

10．已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一个动点，点，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，则

B．过点A且与C有唯一公共点的直线仅有1条

C．的最小值为2

D．点M到直线的最短距离为

11．已知实数x，y满足，则（    ）．

A． B．

C． D．

12．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（    ）．

A．当时，直线与平面所成角的正弦值为

B．当二面角的大小为时，直线与所成角为

C．若，则二面角的余弦值为

D．若，则四面体的外接球的体积为

三、填空题

13．已知的展开式中的系数为21，则正整数__________．

14．从甲、乙两班各随机抽取5名同学，他们最近一次语文考试中作文得分如下：

甲班：45，45，46，47，48

乙班：47，48，49，50，a

若两组样本数据的方差相等，则a的值可以是__________．（写出1个a的可能取值即可）

15．在等比数列中，，函数，则__________．

16．已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，右焦点为，直线与交于点，若，则__________．（S表示面积）．

四、解答题

17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)证明：；

(2)若，求的值．

18．如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，．

(1)证明：平面平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

19．已知数列和满足：，，（为常数，且）．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．

20．某汽车4S店的销售员的月工资由基础工资和绩效工资两部分组成，基础工资为t（单位：元），绩效工资如下表：

根据以往销售统计，该4S店平均一名销售员月售车台数的概率分布如下表：

(1)求该4S店一名销售员的绩效工资大于的概率；

(2)若已知该4S店一名销售员上个月工资大于，求该销售员上个月卖出去3台车的概率；

(3)根据调查，同行业内销售员月平均工资为8000元，要使该4S店销售员的月工资的期望不低于行业平均水平，基础工资至少应定为多少？（精确到百位）

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数的极小值为M，证明：．

22．已知双曲线的渐近线方程为，过其右焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，且．

(1)求C的方程．

(2)设为C上的动点，直线与直线交于点M，与直线（与直线不重合）交于点N．是否存在t，使得为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】先通过Venn图可得到所求的是，然后化简集合，最后利用补集，交集的定义进行计算即可

【详解】Venn图中阴影部分表示，

因为或，

所以，，

于是．

故选：C

2．D

【分析】利用共轭复数的意义、复数的乘法及加减法运算求解作答.

【详解】因为，则，所以.

故选：D

3．B

【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.

【详解】因为是幂函数，所以，解得或，

所以或，

对于，函数在上单调递增，在上单调递减；

对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；

故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．

故选：B

4．A

【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可.

【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，．

则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角，

设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，

又为公共边，所以，即，整理得．

故选：A

5．C

【分析】先求出所有的基本事件，再求出恰好是2对夫妻的基本事件，可得概率.

【详解】从5对夫妻中任选4人，则不同的选法有种，这4人恰好是2对夫妻的选法有种，

故所求概率为．

故选：C.

6．C

【分析】根据两直线平行、直线与圆的位置关系即可判断．

【详解】由已知可得圆的圆心到两条直线的距离相等，

过点且斜率为2的直线方程为，

则关于对称，故．

故选：C.

7．B

【分析】首先确定组成的三角形为等腰三角形，结合钝角三角形的限制条件可得答案.

【详解】如图，作出函数和的图象，

不妨以图中为研究对象，由对称性可得是以C为顶角的等腰三角形，

过C点作于M，则，得，

由，得，则，

所以，

要使为钝角三角形，只需即可，

由，整理得．

故选：B.

8．A

【分析】设，确定函数的奇偶性与单调性，逐项判断即可得答案.

【详解】由，可得．

设，则，所以是R上的奇函数，

又在上，即，

所以在上单调递减，又是R上的奇函数，所以在(-∞,0)上单调递减，

所以，即，

因此，故，故A正确；

所以，即，因此，故B不正确；

所以，即，则，

所以与的大小不能确定，故C不正确；

所以，即，则，

所以与的大小不确定，故D不正确.

故选：A.

9．BC

【分析】根据向量平行的坐标表示，列式求解，即可判断A；

根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的值域，即可判断B；

根据向量夹角公式，结合B选项的过程，即可求解角的值，判断C；

根据等式判断向量反向，结合C的过程，即可判断D.

【详解】对于A，由得，即，故A错误；

对于B，，

因为，所以，，

，故B正确；

对于C，

因为，所以，所以或，

得或，故C正确；

对于D，等价于，的方向相反，而，结合C的分析可知，不存在满足的条件，故D错误．

故选：BC

10．BD

【分析】对于AC：根据抛物线的定义分析运算；对于B：根据题意分类讨论，通过联立方程结合判别式分析判断；对于D：根据点到直线的距离分析运算.

【详解】由已知得，C的准线为．

对于选项A：根据抛物线的定义可知，

所以，则，故A错误；

对于选项B：若过点A的直线为x轴，显然与C有唯一公共点，符合题意；

若过点A的直线不为x轴，设为，

联立方程，消去x得，

则，

所以直线与C有两个不同交点，不合题意；

综上所述：过点A且与C有唯一公共点的直线只有x轴，故B正确；

对于选项C：设点到准线的距离为，

因为点在抛物线C上，则，

则，

所以当M为坐标原点时，取得最小值，

此时，故C错误；

对于选项D：因为点在抛物线C上，则，即，

点M到直线的距离为，

故当时，d0取最小值，故D正确．

故选：BD.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程和性质．

11．ACD

【分析】利用基本不等式求解判断ABD；利用配方法结合解不等式判断C.

【详解】由，得，

对于A，，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B，，得，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；

对于C，，得，

所以，当且仅当时等号成立，故C正确；

对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．

故选：ACD.

12．ABD

【分析】由面面垂直的性质得线面垂直，即可求直线与平面所成角的正弦值即可判断A；根据二面角判断B，C即可；由四面体外接球的几何性质确定外接球半径，即可判断D.

【详解】对于A，当时，因为，，所以直线与平面所成角为，

则，故A正确；

对于B，如图，过A作，且，连接，，

则为正方形，即为直线与所成角，为二面角的平面角，

当时，易得，

又，，故面，即面，故，故B正确；

对于C，如图，作，则二面角的平面角为，

又，在中，易得，

在．中，由余弦定理得，，

过C点作交线段的延长线于点O，则平面，

过O点作，交线段的延长线于点H，连接，

则为二面角的平面角，

易得，，，

所以，故C错误；

对于D，同选项C可知，

如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，

则球心O必在该垂线上，设球的半径为R，则，

又的外接圆半径，则，

所以四面体的外接球的体积为，故D正确．

故选：ABD.

13．7

【分析】利用二项展开式的通项即可.

【详解】的展开式通项为，

由已知得，当时，，

解得或（负值舍去）．

故答案为：7.

14．47（或50）

【分析】根据样本数据的数字特征判断即可．

【详解】观察两组数据的特征，甲班的数据都是连续的整数，且最小的数有两个，

乙班的数据除了a之外也都是连续的整数，要使两组样本数据的方差相等，

只需两组数据的分布也相同即可，则a可以是重复的最小值或最大值．

故答案为：47（或50）.

15．

【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.

【详解】因为

，

所以．

因为数列为等比数列，所以，

于是．

故答案为：

16．4

【分析】，根据直线与交于点，求出点纵坐标即可.

【详解】  

设，

由已知得直线的方程为，直线的方程为，

两直线方程联立，可解得P点的坐标为．

由，

可得，

整理得，即，解得．

所以P点的纵坐标为，

得，

所以．

故答案为：4

17．(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）根据题意将等式先化切为弦，以及二倍角化一倍角，化简后再利用正弦定理即可证出；

（2）利用余弦定理推论以及第一问结论，可得，即可解出．

【详解】（1）由条件可得，

整理得，

再由正弦定理可得．

（2）由余弦定理可得，

再由（1）可得，整理得．

令，则，即，

解得，即的值为．

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，平面，根据平面与平面垂直的判定可证结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.

【详解】（1）设的中点为O，连接，．

因为为等腰直角三角形，且，

所以，，且．

因为S在以为直径的圆上，所以．

故，故．

又因为，直线平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，

过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，．

由得，

所以，

从而得，所以．

所以，，，

设平面的法向量为，则，，

不妨取，则．

因为，

故直线与平面所成角的正弦值为．

19．(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）根据题意消元可得，，即可根据定义证出；

（2）由（1）知，从而得出，根据邻项变号法可知，，进而求出，得到的表达式，求出．

【详解】（1）因为，即，

所以，而，

所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）知，所以．

因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，

即，解得．

所以．

经检验，当时，，当时，，所以先增后减，

在和时取得最大值，符合题意．

此时．

20．(1)

(2)

(3)6300元

【分析】（1）由概率加法公式计算即可；

（2）由条件概率的计算公式计算即可；

（3）先计算数学期望，然后解不等式即可.

【详解】（1）设事件“该4S店一名销售员的绩效工资大于”为A，

则事件A等价于“该销售员月售车台数不小于3”，．

（2）设事件“该4S店一名销售员上个月工资大于”为B，

事件“该销售员上个月卖出去3台车”为C，

则，

，

故．

（3）该4S店一名销售员月工资X的分布列为

所以，

由，得，

即基础工资至少应定为6300元．

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可；

（2）利用导数研究的单调性与极值，根据单调性判定极值的范围即可.

【详解】（1）由已知得，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

（2）由题意知，则，

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

因为，，，

所以有两个零点，且，．

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

即是唯一极小值点，

所以．

由得，所以，

设函数，易知在上单调递减，

所以．

综上，．

22．(1)

(2)存在；

【分析】（1）根据双曲线的渐近线以及，列出关于的方程，即可求得答案；

（2）由题意可求得点的坐标，进而表示出的表达式，利用其表达式分子分母系数成比例，可求得定值，进而可得结论.

【详解】（1）因为C的渐近线方程为，所以,①

设，直线的方程为，

将其代入C的方程得，所以,②

由①②可解得，，

所以C的方程为．

（2）由（1）知，，所以l的方程为，

因为l与直线相交，故，方程整理为．

直线的方程为，所以l与直线的交点为，

l与直线的交点为，

则．

因为在C上，所以，即，

所以,

由题意知：假设当变化时上式为定值，则分子、分母中对应项的系数成比例，

则，解得（舍去），

此时，即，

因此，存在符合条件．

【点睛】难点点睛：探求直线和双曲线的位置关系中的定值问题，要结合直线方程求出点的坐标，从而表示出的表达式，难点在于如何确定该式的定值，因此要结合其表达式，利用系数对应成比例，求解答案.