福建省福州市仓山区2025-2026学年九年级上学期九月月考数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市仓山区2025-2026学年九年级上学期九月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
∴．
故选：A．
3. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵是方程的两个根，
∴，，
故选：C．
4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
则，解得：，
故选：C．
5. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由旋转的性质可得：，，，故正确；
而与不一定平行，故D不一定正确，
故选：D．
6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A 开口向上B. 当时，y随x增大而增大
C. 对称轴是直线D. y有最小值是3
【答案】B
【解析】二次函数为，
∵，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数为对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确，C错误；
∵二次函数的顶点为，且开口向下，
∴y有最大值是3，故D错误；
故选：B．
7. 如图，圆O的直径，弦，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，，，
∴∠ACD=∠ADC．
而无法比较，的大小，
故选：D．
8. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设共有x个队参赛，根据题意，得，
故选：D．
9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在斜边上，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】旋转得到，点落在上，
，，，
，
．
故选：A．
10. 已知抛物线满足，且点，，在该抛物线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
∴抛物线开口向上，离对称轴近的点其函数值更小，
点，，，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选：A．
二、填空题（共24分）
11. 抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】∵，
抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
12 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______．
【答案】2
【解析】∵点，关于原点对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，
∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，
∴，，
∴点对应点的坐标为，故答案为：．
14. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是_____．
【答案】
【解析】根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：，
因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0，
所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为，
所以，足球从踢出到落地所需的时间是，
故答案为：
15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，若点的对应点恰好在线段上，则的长是______．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④．正确的是______．

【答案】①②③④
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
当点H和点G互相重合时，如图：

∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵是中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
如图：

∵是等腰直角三角形，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故③正确；
当点和重合时，最短，如图：

此时与都在上，
∵是等腰直角三角形，是的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为；
当点和点重合时，最大，过点作交于点，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴，
故④正确；
故答案为：①②③④
三、解答题
17. 解方程：
（1）
（2）
（1）解：，
，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
或，
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（3）将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
（4）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．
（1）解：如图所示，根据旋转的性质画出的即为所求；
（2）解：如图所示，根据平移的性质，
点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，画出即为所求作；
（3）解：如图所示，即为所求作；
（4）解：如图，连接和，交点为，
∴旋转中心为，
故答案为：．
19. 抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式．
解：由题意设解析式为，
将代入，则，
解得：，
所以函数解析式为．
20. 如图，中，，将逆时针旋转后得到，求的度数．

解：∵逆时针旋转后得到，C点落在边上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度数为．
21. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
解：连接，
∵过圆心，为的中点，
∴，
∵分米，C为的中点，
∴分米，
设圆的半径为x分米，则分米，
∵分米，
∴分米，
在中，由勾股定理，
∴，
∴，
即拱门所在圆的半径是15分米．
22. 如图，在中，，
（1）尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长．（1）
解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，
∵，
∴，
由（1）可得，，，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，，
∴，∴．
23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设．
（1）设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
（1）解：由题意得：，
∵外墙长且，
，
解得：，
∴S与x的关系式为；
（2）解：
，
，
∴当时，S最大，此时，，
∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为．
24. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长．
（1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程；
（2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
（1）解：由旋转可知：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，即，
∴；
（3）解：如下图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点C、O、、四点共线，
在中，，
∴．
25. 已知抛物线为常数，．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
解：（1），∴该抛物线的解析式为，
，
∴该抛物线顶点的坐标为；
（2）①∵点在抛物线上，
∴，即，
又，点，
，
∴抛物线解析式为，
如图，点在第四象限，过点作轴于点，
，
∴，
，
∴．
∴，
又，
∴，
，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
整理得，，
解得
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴点的坐标为；
②∵，
∴，
在轴上点的左侧取点，使，连接．
，得．
，
．
∴，则．
在中，根据勾股定理，，
．
∴．
．
又点，得．
．即
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段上时，取得最小值，即．
在中，，
．
将代入，得．
解得（舍）．
∴．
点．
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段可以看作是由线段经过平移得到的，
点坐标为．