湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，
∵方程中有两个未知数，
∴此方程不是一元二次方程；
B、，
∵方程中未知数的最高次数是1，
∴此方程不是一元二次方程；
C、，
∵等号两边都是整式，方程中有一个未知数，且未知数的最高次数是2，
∴此方程是一元二次方程；
D、，
∵方程中未知数的最高次数是3，
∴此方程不是一元二次方程．
故选：C．
2. 已知是一元二次方程的一个根，则实数c的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】根据题意，将代入，得：
，
解得：，
故选：C．
3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小D. 顶点坐标为
【答案】D
【解析】对于二次函数的图象的开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，顶点坐标为，则选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意．
故选：D．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
5. 已知是一元二次方程的两根，且，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】∵是一元二次方程的两根，
∴．
∵，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故选：B．
6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，
根据题意有：，
故选：A．
7. 已知二次函数的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（ ）
A. a＞0，c＞0B. a＞0，c＜0
C. a＜0，c＞0D. a＜0，c＜0
【答案】B
【解析】抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴的左侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
．
故选：B．
8. 关于的一元二次方程的常数项是0，则的值

A. 1B. 1或2C. 2D.
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程的常数项是0，
∴，，解得：，故选：C．
9. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．
10. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
的图象经过二、三、四象限，
观察可得D选项的图象符合，
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 方程的解是___________．
【答案】，
【解析】
∴
∴
∴或
∴该方程的解为：，．
故答案为：，．
12. 若关于的方程是一元二次方程，则m的值为_________．
【答案】
【解析】∵方程是关于的一元二次方程，
∴，且，
∴，
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】当时，
，
∴，
故答案为：．
14. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人．
【答案】
【解析】设这次聚会的同学共有人，
由题意得，，
整理得，，
因式分解得，，
解得，，，
，
，即这次参加聚会的人数为．
故答案为：．
15. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是______（填序号）．
【答案】①②④
【解析】把点，，代入中得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的开口向下，故①正确；
令，则，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为，，故③错误；
，
抛物线的对称轴为直线，
当，该二次函数取得最大值，最大值为，
故②、④正确．
综上，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
16. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______．
【答案】
【解析】，
∴．
∴
，
，
，
，
，
，
．
∵，，
∴
∴，
∵，
；
∴原式


．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
18. 用配方法把二次函数转化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：，
∴对称轴为直线，顶点为，
∵，
∴开口向下．
19. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
解：（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
20. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽米，涵洞顶点O到水面的距离为米，建立如图所示的直角坐标系．

（1）试写出涵洞所在抛物线的解析式；
（2）当水面上涨了米时，求水面的宽．
解：（1）设此抛物线所对应的函数表达式为：，
∵米，涵洞顶点O到水面的距离为，
∴A，
把A点代入得：，
解得：，
故涵洞所在抛物线的函数表达式；
（2）当水面上涨了米时，，
即：，
∴
所以河面的水宽为米.
21. 如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽．

解：由题意，得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：通道的宽为5米．
22. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线对应的函数解析式．
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：由顶点为，
不妨设抛物线对应的函数解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：故抛物线的对称轴上存在点C，使的面积为3，
且或，
理由如下：
由顶点为，
故抛物线的对称轴为直线，
由抛物线的对称轴上一点C，使的面积为3，
设，
则，
又点，抛物线的对称轴为直线，
故点A到对称轴的距离为1，
根据题意，得，
故或，
解得或，
故或，
故抛物线的对称轴上存在点C，使的面积为3，
且或．
23. 漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为
600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意，得
．
解这个方程，得，(不合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得
．
解这个方程，得，(不合题意，舍去)．
答：该品牌头盔的销售价应定为50元．
24. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）利用换元法解方程得到方程的解为______．
（2）若，求的值．
（3）利用换元法解方程：．
解：（1）设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
（2）设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
（3）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．
25. 如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为
（1）是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2）设 的面积为 求S与t之间的函数表达式．
（3）是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵矩形，
∴，，，
由题意，得，，
则，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
中，由勾股定理，得，
当时，，
∴
∴
解得：，（不符合题意，舍去），
∴存在，当时，使得．
（2）解：
（3）解：当时，则，
∴
解得：，（不符合题意，舍去）
∴；
当时，则，
∴
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，则，
∴
解得：，（不符合题意，舍去），
∴；
综上，存在，当或时，使得 是等腰三角形．
0
1
0
4
6
6