2024~2025学年湖南省长沙市浏阳市九年级上学期期末综合练习数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖南省长沙市浏阳市九年级上学期期末综合练习数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选B
2. 二次函数的一次项系数为（ ）
A. 2B. C. 6D.
【答案】D
【解析】，
所以，一次项系数是，
故选：D．
3. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
4. 下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意；
B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意；
C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；
D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意；
故选：A
5. 如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴两个扇形面积之和，
∴．
故选：D．
6. 将抛物线向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将抛物线向下平移单位，得到的抛物线的解析式是．
故选：D．
7. 某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，
今年投入教育经费万元，
明年投入教育经费
那么可得方程，
故选：C．
8. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A. 2∠CB. 4∠B
C. 4∠AD. ∠B+∠C
【答案】A
【解析】∵∠AOB和∠C是弧所对的圆心角和圆周角，
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOB=2∠C.
故选A．
9. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D. 1,4
【答案】B
【解析】如图，
由图可知，点；
故选B．
10. △ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A. 80°B. 160°
C. 100°D. 80°或100°
【答案】D
【解析】根据题意得：∠AOC=2∠ABC，
当三角形为锐角三角形时，∠ABC=80°，
当三角形为钝角三角形时，∠ABC=100°．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴他第二次再抛这枚硬币时，反面向上的概率是：．
13. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．
【答案】
【解析】连接OA，OB，则∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，∴的长为：，
设圆锥底面圆的半径为r
故答案为．
14. 如图，二次函数的图象经过x轴上的二点，它们的坐标分别是：，，当x的取值范围是_______时，y随x的增大而减小.
【答案】
【解析】∵二次函数的图象经过x轴上的，
∴二次函数的对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为
15. 如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为_____．
【答案】
【解析】由题意可得出：，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，.
三、解答题（共75 分）
16. 已知抛物线 ，其中a为常数．
（1）求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示）
（2）将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值．
解：（1），
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）将抛物线 向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为
∴抛物线的顶点坐标为；
∴，
∵，
∴，
即：平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值为．
17. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
18. 已知:如图，二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？请说明理由.
解：（1）∵二次函数的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：，，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB=OA′=1，
∴A′B=OB=，
∴A′点的坐标为（1，），
∴点A′为抛物线的顶点，
∴点A′在抛物线上．
19. 某旅行社有客房120间，每间客房的住宿费60元/日，每天都客满，该旅行社在装修后要提高客户住宿费，经市场调查，如果每间客房的住宿费每增加5元/日，那么每天的客房相应空出6间（不考虑其他因素）
（1）旅行社每间客房的住宿费提高到多少元时，客房日总住宿费收入不变？
（2）旅行社将每间客房的住宿费提高，客房日总住宿费收入能否达到7710元？说明理由？
解：（1）设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，
依题意列方程得：
解得：（舍去），，
（元），
∴旅社将每间客房的住宿费提高到100元/日时，客房日总住宿费收入不变．
（2）客房日总住宿费收入不能达到7710元，理由如下：
设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，
依题意列方程得：
，
，方程无实数根，
∴客房日总住宿费收入不能达到7710元．
20. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.
∵∠B=70°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=55°，
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在Rt△ABC中，BC=．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
21. 已知：关于x的方程；
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
（1）证明：关于的方程，
，
则无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当时，则，解得，
∴方程为，
解得：，
此时三边长为1，2，2，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，，
此时三边长为1，1，2，不能组成三角形，
综上所述，的周长为5．
22. 如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°.
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB.
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠A=∠D=30°.
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD.
∴BE=DE.
∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcs30°=3.
∴BD=2BE=6.
（3）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，
∴△OEB≌△CED（AAS）.
∴S阴影=S扇形BOC.
∴S阴影=．
答：阴影部分的面积是6π．
23. 如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根．
（1）求m，n的值；
（2）求这条抛物线对应的函数解析式；
（3）若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标．
解：（1），
，
解得，，，
∵，
∴，；
（2）∵，，
∴
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（3）设直线的解析式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为；
∵直线过点，
∴直线的解析式为，
∵为等腰直角三角形，
∴或或，
设，
①当时，，
解得，，（舍去），
∴；
②当时，点在线段的垂直平分线上，
∴；
③当时，可得，
解得，（舍去），
∴；
综上，点的坐标为．