湖南省长沙市浏阳市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市浏阳市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ）
A．1，5，1B．0，5，﹣1C．1，5，﹣1D．0，5，1
解：一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，﹣1．
故选：C．
2．（3分）下列各点中，是二次函数y＝﹣2x2+3图象上的点是（ ）
A．（1，2）B．（0，0）C．（﹣1，1）D．（1，0）
解：A．当x＝1时，y＝1，故选项不合题意；
B．当x＝0时，y＝3，故选项不合题意；
C．当x＝﹣1时，y＝1，故选项符合题意；
D．当x＝1时，y＝1，故选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水中捞月B．守株待兔C．水涨船高D．画饼充饥
解：根据相关概念判断可知：
A．是不可能事件，故不符合题意；
B．是随机事件，故符合题意；
C．是必然事件，故不符合题意；
D．是不可能事件，故不符合题意；
故选：B．
4．（3分）平面内，⊙O的半径为10cm．若点P在⊙O内，则OP的长可以是（ ）
A．14cmB．12cmC．10cmD．8cm
解：∵⊙O的半径为10cm．点P在⊙O内，
∴OP＜10cm，
∴OP的长可以是8cm．
故选：D．
5．（3分）若用公式法解关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．2x2+3x+4＝0B．2x2﹣3x+4＝0
C．2x2+3x﹣4＝0D．2x2﹣3x﹣4＝0
解：根据公式可得x的一元二次方程的根为：，
∴这个方程是2x2+3x﹣4＝0，
故选：C．
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．1.3＜x＜1.4B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.4＜x＜1.5
解：从表中可以看出
当x＝1.2时，y＝﹣0.49，
当x＝1.3时，y＝0.04，
∴当y＝0对应的x的值一定有1.2＜x＜1.3，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是1.2＜x＜1.3．
故选：C．
7．（3分）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条弦相等，它们所对的弧也相等
D．等弧对等弦
解：A．同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以A选项不符合题意；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项不符合题意；
C．同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的劣弧相等，所对的优弧相等，所以C选项不符合题意；
D．等弧对等弦，所以D选项符合题意．
x
…
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝142°，则∠ABC的度数是（ ）
A．109°B．142°C．45°D．19°
解：由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC＝×142°＝71°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣71°＝109°，
故选：A．
9．（3分）某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）存在反比例函数关系．下表是他们实验的几组数据：
则压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系式是（ ）
A．B．P＝600SC．D．
解：当压力一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）存在反比例函数关系，设压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）的函数解析式为，把S＝10，P＝60代入解析式得：
，
S（单位：m2）
10
20
30
40
P（单位：Pa）
60
30
20
15
解得：k＝600，
∴压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系式是．
故选：A．
10．（3分）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象（如图所示）是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①2a+b＝0；②c＝﹣3；③abc＜0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y＝5有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．①②D．②③
解：①由条件可知，函数对称轴为直线x＝1，
∴，
则b＝﹣2a，2a+b＝0，
故①正确；
②∵函数图象与y轴交于（0，3），
由翻折性质可知，c＝﹣3，
故②正确；
③∵a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴b＜0，
∵c＝﹣3，
∴abc＞0，
故③错误；
④由图知，y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣3），
∵函数y＝|ax2+bx+c|图象与y轴交于（0，3），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣3）过点（0，﹣3），
即a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，
解得a＝1，
∴函数y＝ax2+bx+c为y＝x2﹣2x﹣3，
即y＝|ax2+bx+c|＝|x2﹣2x﹣3|，
当x＝1时，y＝|12﹣2﹣3|＝4，
即y＝|ax2+bx+c|的顶点坐标为（1，4），
将图象向上平移1个单位长度后y＝|ax2+bx+c|的顶点坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位长度后与直线y＝5有3个交点，
故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是 （5，3） ．
解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣5）2+3是顶点式，
∴顶点坐标为（5，3）．
故答案为：（5，3）．
12．（3分）边长为3的正六边形的一个中心角是 60° ．
解：正六边形的一个中心角是，
故答案为：60°．
13．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
解：，解得r＝．
故答案为：．
14．（3分）若A（﹣4，a），B（﹣2，b），C（1，c），为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是 b＜c＜a ．（用“＜”连接）
解：把A（﹣4，a），B（﹣2，b），C（1，c）分别代入抛物线解析式得：
，
，
．
∴b＜c＜a．
故答案为：b＜c＜a．
15．（3分）如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离OB为 10 m．
解：在中，令y＝0，
则﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴B（10，0），
∴OB＝10，
∴球掷出的水平距离OB为10m，
故答案为：10．
16．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 2 ．
解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：（x﹣1）2＝9．
解：两边开方得：x﹣1＝±3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
18．（6分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝4时，求y的值．
解：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当x＝2时，y＝6．
所以，k＝xy＝12，
所以，；
（2）当x＝4时，y＝3．
19．（6分）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
解：如图，过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，OB，AD，
则OA＝OD＝0.6m，CD＝0.3m，
∴OC＝OD﹣CD＝0.6﹣0.3＝0.3（m），
∴OC＝CD，
∵半径OD⊥弦AB，
∴AC＝BC，∠AOB＝2∠AOD，
在Rt△AOC中，AC＝＝≈0.52（m），
∴AB＝1.04m，
∵OC＝CD，AB⊥OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴截面上有水部分的面积S阴影＝﹣×1.04×0.3＝0.12π﹣0.156≈0.22（m2），
答：截面上有水部分的面积约为0.22m2．
20．（8分）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝5，，求AB的长度．
（1）证明：如图，连接OE，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴∠EBC＝∠DBE，
又OB＝OE，
∴∠DBE＝∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO，
∴BC∥OE，
又BC⊥AC于点E，
∴OE⊥AC于点E，
∵OE是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝AO2，
∴（5）2+r2＝（r+5）2，
解得：r＝2.5，
∴BD＝5，
∴AB＝BD+AD＝10．
21．（8分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球有2个．黄球有1个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）若任意摸出两个球，请用画树状图或列表法表示摸到球的所有可能结果，并求摸到的球都是白球的概率．
解：（1）设袋中蓝球的个数为x个，
由题意得：＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
答：袋中蓝球的个数为1个；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸到的球都是白球的结果有2种，
∴摸到的球都是白球的概率为＝．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，请画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标．
（3）若P（a，b）是△ABC内的任意一点，试写出将△ABC绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P2的坐标．
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，△A2B2C2即为所求；
由图可知，点B2的坐标是（﹣2，4）
（3）由旋转的性质可知，点P2的坐标是（﹣b，a）．
23．（9分）已知⊙O的半径为13，弦AB平行于CD，CD＝10，AB＝24，求AB和CD之间的距离．
解：如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OE⊥AB于点E，并延长EO，交CD于F点．分别连接AO、CO．
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵CD＝10，AB＝24，
∴，
在Rt△AEO中，由勾股定理得，
在Rt△CFO中，由勾股定理得，
∴EF＝OE+OF＝5+12＝17，
∴AB和CD之间的距离为17；
如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时，
同理可得：OF＝12，OE＝5，
∴EF＝OF﹣OE＝7，
∴AB和CD之间的距离为7；
综上所述，AB和CD之间的距离为7或17．
24．（10分）对于形如x2﹣2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x﹣a）2的形式．但对于二次三项式x2﹣2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2﹣2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2﹣2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2﹣2ax﹣3a2＝（x2﹣2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x﹣a）2﹣4a2＝（x﹣3a）•（x+a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题：
（1）利用配方法分解因式：a2﹣4a﹣5．
（2）求二次三项式m2+6m+1的最小值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣5x+5与﹣x2+3x﹣4的大小，请说明理由．
解：（1）a2﹣4a﹣5＝a2﹣4a+4﹣5﹣4＝（a﹣2）2﹣9＝（a﹣2+3）（a﹣2﹣3）＝（a+1）（a﹣5）；
（2）m2+6m+1＝m2+6m+9﹣9+1＝（m+3）2﹣8，
当m＝﹣3时，二次三项式m2+6m+1的最小值为﹣8；
（3）x2﹣5x+5﹣（﹣x2+3x﹣4）
＝x2﹣5x+5+x2﹣3x+4
＝2x2﹣8x+9
＝2（x2﹣4x）+9
＝2（x﹣2）2+1＞0，
∴x2﹣5x+5＞﹣x2+3x﹣4．
25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y＝kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
对称轴为直线x＝1，顶点M（1，4）；
（2）如图1，
∵点C关于直线l的对称点为N，
∴N（2，3），
∵直线y＝kx+b经过C、M两点，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
∵y＝x+3与x轴交于点D，
∴D（﹣3，0），
∴AD＝2＝CN
又∵AD∥CN，
∴CDAN是平行四边形；
（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，
则MP＝4﹣a，
又∠HMP＝45°，
∴HP＝AP＝，
Rt△APE中，AP2＝AE2+PE2，
即：，解得：，
∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．