湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知关于的方程是一元二次方程，则下列的值中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
∴的值中错误的是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】计算判别式，判断即可．
【详解】∵一元二次方程，
∴，
故方程无实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握计算根的判别式是解题的关键．
3. 关于抛物线的特征，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴为直线更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 C. 顶点坐标是D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：关于抛物线的特征，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴A，B，C选项正确，
当时，随的增大而减小，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4. 下列点中，与点关于原点对称的点是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，得出答案．
【详解】解∶ 点关于原点对称的点是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
5. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面点数小于7
B. 不透明的袋子里装有5个红球和3个绿球，从袋子里随机摸出一个球是白球
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 在2023年中考中，浏阳市的数学平均分比宁乡市的数学平均分高
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件的属性判断即可．
【详解】A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面点数小于7，是必然事件，故不符合题意；
B. 不透明的袋子里装有5个红球和3个绿球，从袋子里随机摸出一个球是白球，是不可能事件，故不符合题意；
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故不符合题意；
D. 在2023年中考中，浏阳市的数学平均分比宁乡市的数学平均分高，是随机事件，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了事件的属性，随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握事件的分类是解题的关键．
6. 已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由反比例函数图象经过第二象限，得出，求出范围即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过第二象限，
，
得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的性质，列出关于的不等式，是解题的关键．
7. 在抛物线上的一个点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把点的坐标逐一代入函数的解析式，相等就是在抛物线上．
【详解】∵，
故A不符合题意；
∵，
故B不符合题意；
∵，
故C符合题意；
∵，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了点与图像的关系，熟练掌握判定的基本方法是解题的关键．
8. 如图，、分别与相切于、两点，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接、，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和为，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数．
【详解】解：连接、，
直线、分别与相切于点、，
，，
，是上一点，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．
9. 如图，中，，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，利用垂径定理，圆周角定理计算即可．
【详解】连接，
∵，，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的全等性质，确定相等的对应线段，后根据点的位置确定坐标即可．
【详解】如图，过点P作轴于点M，过点作轴于点N，
∵点绕原点顺时针旋转得到点，
∴，，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故,
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标，熟练掌握旋转的性质，一线三直角模型是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 关于的方程有一个根是1，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入方程得，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位，就得到抛物线____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律，上加下减，左加右减，即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位，就得到抛物线，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
13. 已知的直径为，圆心O到弦AB的距离为，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后连接，根据垂径定理得到平分，即，而在中，根据勾股数得到，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14. 已知y是x的反比例函数，其图像经过点，则y关于x的函数解析式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】设反比例函数的解析式为，代入计算确定k即可．
【详解】设反比例函数的解析式为，
把点代入解析式，得，
解得，
故反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握根据解析式和一个点的坐标确定k值是解题的关键．
15. 转盘中9个扇形的面积都相等，扇形上面分别写有数字1至9，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时（若指针停在分割线时重转一次），指针指向奇数的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单概率公式计算即可．
【详解】∵数字1至9中，有1，3，5，7，9五个奇数，
∴指针指向奇数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单概率公式，熟练掌握公式是解题的关键．
16. 如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则____________度．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于，连接，根据同弧所对的圆周角相等可得：，再根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而求出，最后利用三角形外角的性质即可求出
【详解】解：延长交于，连接，如下图所示，
，
是直径，
，
，
．
故答案为：68．
【点睛】此题考查的是圆周角定理和三角形外角的性质，掌握同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共9题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】运用因式分解法—十字相乘法求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是运用因式分解法—十字相乘法求解．
18. 如图，中，，，．

（1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的三角形；
（2）点A、旋转后的对应点分别为、，求的周长（结果保留根号）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的特点，去哦草点A和B的对应点D和E，然后顺次连接即可；
（2）连接，根据勾股定理求出，，得出，即可得出答案．
小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，，
又∵，
∴的周长为，
【点睛】本题考查了画旋转图形，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
19. 已知抛物线和双曲线交点的横坐标是．
（1）求的值；
（2）当时，求反比例函数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把交点的横坐标代入抛物线可求出交点坐标，再把交点坐标代入双曲线函数式即可求解；
（2）由（1）可知反比例函数图像，根据图像的性质可知反比例函数所在象限，根据函数图像的增减性即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线和双曲线交点的横坐标是，
∴把代入抛物线得，，
∴抛物线和双曲线交点的坐标是，
把代入双曲线得，，解得，，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）可知，双曲线的解析式为，其图像在第一、三象限，函数值随增大而减小，
当时，，当时，，
∴反比例函数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查抛物线与反比例函数的综合，掌握交点坐标的计算方法，函数图像的性质是解题的关键．
20. 某口置生产厂生产的口置一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口置需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个
（1）求口罩日产量的月平均增长率：
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【答案】（1）口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）预计四月份平均日产量为53240个．
【解析】
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1＋x）个，三月份平均日产量为40000（1＋x）2个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量＝三月份平均日产量×（1＋增长率），即可预计出四月份平均日产量．
【小问1详解】
解：设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1＋x）个，三月份平均日产量为40000（1＋x）2个，
依题意得：40000（1＋x）2＝48400，
解得：x1＝−2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
【小问2详解】
48400×（1＋10%）＝53240（个）．
答：预计四月份平均日产量为53240个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，点在以为直径的上，平分，且于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，先证明，由，即可推出；
（2）过点O作于点E，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长
【小问1详解】
证明：如图中，连接．
，
，
平分，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，得矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
的半径为．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，勾股定理，矩形的判定和性质，解决本题的关键是掌握切线的判定．
22. 在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．

（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出江华和江玉获胜的概率；
（3）请问游戏规则公平吗？如不公平，请更改游戏规则，使游戏公平．
【答案】（1）12种 （2）江华获胜的概率为；江玉获胜的概率为
（3）不公平，若指针所指区域内两数和小于，则江华获胜；若指针所指区域内两数和大于或等于，则江玉获胜
【解析】
【分析】（1）根据列表法求得所有可能，即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据概率公式即可求解；
（3）根据表格可知两数和小于与两数和大于等于出现的次数相等，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意列表如下：
可见，两数和共有种等可能结果；
【小问2详解】
由（1）可知，两数和共有种等可能的情况，其中和小于的情况有种，和大于的情况有种，
∴江华获胜的概率为；
江玉获胜的概率为．
【小问3详解】
不公平，
将游戏规则更改为：若指针所指区域内两数和小于，则江华获胜；若指针所指区域内两数和大于或等于，则江玉获胜．
【点睛】本题考查了列表法求概率，游戏的公平性，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
23. 如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
(1)求证：EC是的切线；
(2)当时，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为．
【解析】
【分析】(1)如图，连接BC，OC，OE，证明，可得，进而根据BD是的切线，得到，继而得到，即可求得结论；
(2)先求出四边形OBEC的面积，继而根据阴影部分面积为进行求解即可得.
【详解】(1)如图，连接BC，OC，OE，
AB为的直径，
，
在中，，
，
，，
，
，
BD是的切线，
，
，
OC为半径，
EC是的切线；
(2)，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形OBEC的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.
24. 如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）．
（1）求的面积关于的函数解析式；
（2）若的面积是面积的，求的值；
（3）问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不可能，见解析
【解析】
【分析】（1）分别用函数的式子表示出的长，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（2）当运动时间为时，，，，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（3）根据题意，列式为，根据一元二次方程方程根据的判别式可知此方程无实数解，由此即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
∴
∴．
【小问2详解】
解：当运动时间为时，，，，
根据题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴的值为．
【小问3详解】
解：的面积不可能是面积的一半，理由如下：
根据题意得：，即，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不可能是面积的一半．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律与线段的长度的关系，几何图形面积的计算方法，一元二次方程根的判别式的知识是解题的关键．
25. 规定：我们把直线l：叫做抛物线L：的“温暖直线”．若该直线与该抛物线还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线l与抛物线L具备“温暖而幸福关系”，否则称直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”．
（1）已知直线l：是抛物线L：的“温暖直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；
（2）已知直线l：与抛物线L：不具备“温暖而幸福关系”，当时，抛物线L：的最小值是﹣6，求直线l的解析式．
【答案】（1）具备，，
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据新定义,确定a,b的值，从而得到函数的解析式，联立解方程组求得交点的横坐标，继而求解即可．
（2）根据新定义，得到无解或有两个相等的实数根，即，由，所以，得到，得到用a表示的函数解析式，后分类求解．
【小问1详解】
具备．理由如下：∵直线l：是抛物线L：的“温暖直线”，
∴
∴直线l：，抛物线L：，
由，
得：，
∴“幸福点”的坐标为，．
【小问2详解】
∵直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”，
∴方程，即无解或有两个相等实数根，
∴，由，
所以，
∴，
∴直线l：，抛物线L：，
当时，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴，
解得：，
∴，
∴直线l的解析式为；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴直线l解析式为
∴直线l的解析式为或．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的新定义问题，熟练掌握新定义并灵活求解是解题的关键．