2025年高考数学真题第一轮专项练习：不等式与不等关系（含解析）

这是一份2025年高考数学真题第一轮专项练习：不等式与不等关系（含解析），共9页。试卷主要包含了不等式的解集是，设函数等内容，欢迎下载使用。
1．(2025·全国二卷)不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2. (2025·北京)已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3．(2025·上海)设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
4．(2025·全国一卷)若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
填空题
5．(2025·上海)不等式的解集为 ．
6．(2025·上海)设，则的最小值为 ．
7．(2025·天津)若，对，均有恒成立，则的最小值为
解答题
8．(2025·全国一卷)设函数．
(1)求在的最大值；
(2)给定，设a为实数，证明：存在，使得；
(3)若存在使得对任意x，都有，求b的最小值．
不等式与不等关系
单选题
1．(2025·全国二卷)不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】即为即，故，
故解集为，
故选：C.
2. (2025·北京)已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
3．(2025·上海)设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
4．(2025·全国一卷)若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
填空题
5．(2025·上海)不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
6．(2025·上海)设，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：4
7．(2025·天津)若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
解答题
8．(2025·全国一卷)设函数．
(1)求在的最大值；
(2)给定，设a为实数，证明：存在，使得；
(3)若存在使得对任意x，都有，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值.
【详解】（1）法1：，
因为，故，故，
当时，即，
当时，即，
故在上为增函数，在为减函数，
故在上的最大值为.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到，同时又有，
故在上的最大值为，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则且，此时无解，
矛盾，故无解；故存在，使得，
法2：由余弦函数的性质知的解为，
若每个与交集都为空，
则对每个，必有或之一成立.
此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：记，
因为，
故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，故，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
故，故，
综上，可取，使得等号成立.
综上，.
法2：设.
①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.
所以对任意恒成立，这直接得到.
设，则根据恒成立，有
所以均不超过，
再结合，
就得到均不超过.
假设，则，
故.
但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.
所以假设不成立，这意味着.
②另一方面，若，则由（1）中已经证明，
知存在，使得
.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面，可知的最小值是.