四川省内江市第一中学2025~2026学年高二上学期入学考试数学试卷（含解析）

这是一份四川省内江市第一中学2025~2026学年高二上学期入学考试数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式化简求值可得结果.
详解】
.
故选：B.
2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【详解】由题意知，则.
故选：A
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解.
【详解】由得：，设其倾斜角为，，
所以斜率， 故倾斜角为，
故选：C
4. 已知向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量的模长公式代入计算，即可得到，再根据数量积的定义，即可得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
即，所以，设与的夹角为，则，
即，所以，因为，则.
故选：D
5. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长．
【详解】
根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，
底边长，高，
所以，
直角三角形的周长为．
故选：A．
6. 在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质，结合等面积法可得，即可由正弦定理求解，由三角恒等变换即可求解.
【详解】，的角平分线AD交BC边于点D，故，

故，
由正弦定理可得，故，故，
故，故，
故选：C.
7. 菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形十二面体的性质，结合其内切球的性质，将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，结合其几何性质，求其高，可得球的半径，可得体积.
【详解】由题意，设菱形十二面体内切球的球心为，其中一个面为菱形，
过作平面的垂线，以为垂心，连接，
可得四棱锥，如下图所示：

由棱形十二面体的性质，可知为菱形的中心，即，
易知棱形十二面体体积等于十二个四棱锥的体积，
故四棱锥的体积，
由题意，可得，，在菱形中，易知，
，由，且，则，，
故菱形的面积，
在四棱锥中，，
由内切球的性质，可得其半径为，
其体积.
故选：C.
8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的一条对称轴为直线
C. 函数的一个对称中心坐标为
D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案.
【详解】对于，
由图可知，，
，，
由于，所以，所以.
图象上的所有点向右平移个单位得到函数，
的最小正周期为，A选项错误.
，B选项错误.
点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误.
再向左平移个单位得到，
所得函数为偶函数，所以D选项正确.
故选：D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对于平面，若，则
B. 对于平面和直线，若，则
C. 对于平面和直线，若，则
D. 对于平面和直线，若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项，根据线面平行的性质定理判断即可；对于B选项，根据线面垂直的判定定理可判断；对于C，结合正方体中的线面关系可判断；对于D选项，利用反证法证明.
【详解】对于A选项，因为，，
所以，所以，由于，，所以，故A正确；
对于B选项，由，可知过的平面与的交线与平行，且所有的交线互相平行，
，可得与交线垂直，但无法推出，B错误；
对于C选项，如图，在正方体中，，平面，平行与平面，
但平面平面，C错误；
对于D选项，如图，设，
假设与平面不平行，又，
所以与平面相交，设交点为，
在内过点作直线，因为，，则，
则过点有两条直线垂直于平面，矛盾，
所以假设不成立，故，D正确.
故选：AD
10. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（ ）
A. 在中，若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若在线段 上，且，则的面积为8
D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】
【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D．
【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B中，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由在线段上，且，，，，
则，设，
在中，利用余弦定理，
整理得，解得或（舍去），
所以，
在中，可得，则，
所以的面积为，故C正确；
对于D，在中，因为，，
则点在以为弦的一个圆上，
由正弦定理可得外接圆的直径为，即，
当点在外部时，如图所示，
因为，可得，所以，
所以的长度为，
同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，
所以动点的轨迹的长度为，故D正确．
故选：ACD.
11. 如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（ ）

A. 在折起的过程中始终有平面
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 当时，点到的距离为
D. 当时，点到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据线线垂直可证线面垂直，可判断A选项，根据三棱锥体积公式可知当时，体积最大，即可判断B选项，根据等边三角形可值，再根据等腰三角形性质可判断C选项；根据线面垂直可知D选项中点到平面的距离为，即可判断D选项.
【详解】
A选项：因为，，且，，平面，所以平面，故A选项正确；
B选项：又已知三棱锥的体积，
所以当即时，三棱锥的体积最大，
最大值为，故B选项正确；
C选项当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形，
设的中点为，连接，
则，即为点到的距离，
，故C选项正确；
当时，，，且，，平面，故平面，
则就是点到平面的距离，且，故D选项错误；
故选：ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是_______
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．
【详解】由题意，圆C的圆心为，
则半径为，
所以圆C的标准方程是.
故答案为：.
13. 已知，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果.
【详解】根据二倍角公式，由得，
即，
根据诱导公式，
所以.
故答案为：
14. 如图，在中，斜边，，在以为直径半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.

（1）若，求______；（2）令则的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知用表示出、，分别由、并结合三角恒等变换及正弦型函数的性质，求或面积的最大值.
【详解】因为中，，，
所以，，，
又因为为以为直径的半圆上一点，
所以，

在中，，，，
作于点，则，
，
，
若，则，因为，
所以，即，整理得，
所以，；
由，则
，
因为，所以，
当时，即，有最大值．
故答案为：，
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 过点的圆的两条切线，切点为，求：
（1）求切线的方程；
（2）求切线段的长度．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可；
（2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可.
【小问1详解】
由圆C:x−42+y−22=9，则圆心为，半径为3，
当切线斜率不存在时，切线方程为，
此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意；
当斜率存在时，设切线方程为，即，
则4k−2−k−3k2+1=3，解得，
则切线方程为，即.
综上所述，切线方程为或.
【小问2详解】
由切线的性质，得，
当切线为时，此时切线与轴垂直，
则PA=PB=2−−3=5.
16. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）求的周长的取值范围．．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设结合正弦定理可得，再根据余弦定理求解即可；
（2）结合正弦定理、三角恒等变换公式化简可得，再利用正弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题意得，，
，
由正弦定理可得，即，
，
又．
【小问2详解】
由及正弦定理得，
，
由于为锐角三角形，则，解得，
则，∴，
则，
即周长的取值范围为.
17. 如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．

（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求．
（3）设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解；
（3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，．
，
.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，，与的夹角为，
,
.
【小问3详解】
由（1）（2）知，，，，，
，，，
，
，
因为线段AM、FM的交点为，
所以就是向量与的夹角，
所以.
故的余弦值为.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）若是边长为等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件证得平面即可得解；
（2）根据三棱锥的体积求得，可得，作辅助线作于，作于，连，利用定义法找到二面角的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得答案.
【小问1详解】
在三棱锥中，因为为的中点，
且，则，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以.
【小问2详解】
因是边长为的等边三角形，所以，则，

因平面，所以为三棱锥的高，设为，
所以，，
所以，即有，所以，
作于，作于，连，则，
因为平面， 所以平面，
平面，则，因为，
平面，所以平面，
而平面，故，
则为二面角的平面角.
又，所以，
在中，，，所以，
由知，故，所以，即,
∴，从而，
又因在中，，所以为等腰直角三角形，
所以，即二面角的大小为.
19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【小问1详解】
由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，
又，所以，故.
令，得，
所以函数的递减区间为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
的两个根对应的点关于直线对称，即，
有，
在上有两个不同的根，
所以；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.