黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）下列函数中为偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝|x|C．f（x）＝D．f（x）＝x
2．（5分）已知x＞2，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
3．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3
4．（5分）已知4x＝9y＝6，则+等于（ ）
A．2B．1C．D．
5．（5分）f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，a∈R，则（ ）
A．f（a）＜f（2a）B．f（a2）＜f（a）
C．f（a2+1）＜f（a）D．f（a2+a）＜f（a）
6．（5分）已知x∈（1，2），a＝2，b＝（2x）2，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
7．（5分）若偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2），则不等式＜0的解集为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
8．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）（﹣x），当x∈（0，1]时，f（x），则f（21）＝（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）的值域为（﹣∞，4）
B．f（1）＝3
C．若f（x）＝3，则x的值是
D．f（x）＜1的解集为（﹣1，1）
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义域为R的函数，满足f（x+1）（x﹣3），f（1+x）＝f（3﹣x），当0≤x≤2时，f（x）2﹣x，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为4
B．f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f（x）的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f（x）的最小值为
（多选）11．（6分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x）（x+1）的图像关于x＝﹣1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有＞0，若f（﹣2），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（2022）＝0
C．f（x）的图像关于（1，0）对称
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若m＞0，n＞0，m+n＝3，则 ．
13．（5分）函数y＝x+的最小值为 ．
14．（5分）已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8（a，b是常数），且f（﹣3）＝5（3）＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）
16．（15分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
（1）求f（0）的值．
（2）证明函数f（x）是周期函数．
17．（15分）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间[﹣2，4]上的最大值是16．
（1）求实数a的值；
（2）假设函数的定义域是R，求不等式lga（1﹣2t）≤1的实数t的取值范围．
18．（17分）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意x＞0（）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝2，有f（x）＞1．
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判断f（x）的单调性并加以证明；
（3）求f（x）在[1，16]上的值域．
19．（17分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足f（0）＝2，f（x+1）（x）＝2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在x∈[﹣1，2]上有解；
（Ⅲ）当x∈[t，t+2]（t∈R）时，求函数f（x）（用t表示）．
2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）下列函数中为偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝|x|C．f（x）＝D．f（x）＝x
【分析】利用基本初等函数的性质判断即可．
【解答】解：对于A，函数在区间（0，故选项A错误；
对于B，函数为偶函数且在区间（0，故选项B正确；
对于C，函数的定义域为[3，不关于原点对称，故选项C错误；
对于D，函数为奇函数．
故选：B．
【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2．（5分）已知x＞2，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值．
【解答】解：x＞2时，＝，
当且仅当x﹣8＝，即x＝2+，此时函数取得最小值．
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，属于基础题．
3．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，可得 m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，由此求得m的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣5）x在（3，
∴m2﹣2m﹣7＝1，且 m2﹣7＞0，求得m＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
4．（5分）已知4x＝9y＝6，则+等于（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：4x＝9y＝6，
则x＝lg46，y＝lg66，
故+＝lg64+lg39＝lg636＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
5．（5分）f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，a∈R，则（ ）
A．f（a）＜f（2a）B．f（a2）＜f（a）
C．f（a2+1）＜f（a）D．f（a2+a）＜f（a）
【分析】先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．
【解答】解：因为a∈R，所以a﹣2a＝﹣a与0的大小关系不定，故A错
而a3﹣a＝a（a﹣1）与0 的大小关系也不定8）与f（a）的大小，故B错；
又因为a2+1﹣a＝+＞0，
所以a3+1＞a．又f（x）为（﹣∞，
故有f（a2+5）＜f（a）故C对D错．
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的应用．当一个函数是减函数时，大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值．而当一个函数是增函数时，大自变量对应大函数值，小自变量对应小函数值．
6．（5分）已知x∈（1，2），a＝2，b＝（2x）2，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【分析】根据x∈（1，2）时x2＜2x，判断a＜c；根据x∈（1，2）时2x＞2x，判断b＞c；由此得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：x∈（1，2）时，x5＜2x，所以＜，即a＜c；
又（6x）2＝28x，x∈（1，2）x，所以62x＞，即b＞c；
所以a，b，c的大小关系为b＞c＞a．
故选：B．
【点评】本题考查了利用函数的单调性判断数值大小的应用问题，是基础题．
7．（5分）若偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2），则不等式＜0的解集为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【分析】结合函数的单调性与奇偶性，可推出当x∈（﹣2，0）∪（0，2）时，f（x）＞0；当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，再利用偶函数的性质，将原不等式转化为xf（x）＞0，解之即可．
【解答】解：因为偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
所以当x∈（﹣7，0）∪（0，f（x）＞6，﹣2）∪（2，f（x）＜7，
不等式＜0可化为，即xf（x）＞0，
所以或，
所以x∈（﹣2，0）∪（8．
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）（﹣x），当x∈（0，1]时，f（x），则f（21）＝（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【分析】由已知可得，f（x+4）＝f（x），然后结合f（x）是R上的奇函数，可求结论．
【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
由f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x）可得f（x+4）＝f（x），
∵2≤x≤1时，f（x）＝2x+6，
则f（21）＝f（4×5+6）＝f（1）＝2×1+2＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期求解函数值，属于基础试题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）的值域为（﹣∞，4）
B．f（1）＝3
C．若f（x）＝3，则x的值是
D．f（x）＜1的解集为（﹣1，1）
【分析】分段求解函数f（x）的值域，即可判断选项A，直接计算f（1），即可判断选项B，分类讨论，分别求解f（x）＝3，即可判断选项C，分类讨论，分别计算f（x）＜1，即可判断选项D．
【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）的取值范围是（﹣∞，
当﹣1＜x＜2时，f（x）的取值范围是[0，
因此f（x）的值域为（﹣∞，4）；
当x＝6时，f（1）＝12＝4，故B错误；
当x≤﹣1时，由x+2＝6，
当﹣1＜x＜2时，由x6＝3，解得x＝（舍去）；
当x≤﹣1时，由x+2＜7，
当﹣1＜x＜2时，由x6＜1，解得﹣1＜x＜8，
因此f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣4，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了分段函数的综合应用，涉及了分段函数的值域，分段函数值的求解与应用，不等式的求解，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义域为R的函数，满足f（x+1）（x﹣3），f（1+x）＝f（3﹣x），当0≤x≤2时，f（x）2﹣x，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为4
B．f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f（x）的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f（x）的最小值为
【分析】根据对任意实数x满足f（x+1）＝f（3﹣x），且f（x+1）＝f（x﹣3），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当0≤x≤2时，f（x）＝x2﹣x可得函数的单调性．逐次判断各选项即可；
【解答】解：∵对任意实数x满足f（x+1）＝f（3﹣x），
可得函数f（x）关于x＝4对称轴，
又∵f（x+1）＝f（x﹣3），
∴f（x+7）＝f（x）
即函数f（x）是周期函数，周期为4．
∴f（4﹣x）＝f（x﹣8），
那么f（﹣x）＝f（x）
∴函数f（x）是偶函数，
又∵当0≤x≤2时，f（x）＝x4﹣x
∴函数f（x）在区间[，8]上单调递增．
∴函数f（x）在区间[0，]上单调递减．
∴当0≤x≤4时，函数f（x）的最大值为6．
∵函数f（x）的周期为4．
当6≤x≤6时，函数f（x）＝（x﹣7）2﹣（x﹣4）＝x2﹣15x+56，
当x＝7.5时，取得最小值．
故选：ABC．
【点评】考查函数的单调性，对称性和周期性，属中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x）（x+1）的图像关于x＝﹣1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有＞0，若f（﹣2），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（2022）＝0
C．f（x）的图像关于（1，0）对称
D．
【分析】根据图象的平移变换规律，函数的奇偶性质、周期的定义、单调性的定义，结合已知条件对每个选项进行判断即可．
【解答】解：因为y＝f（x+1）的图像关于直线x＝﹣1对称，
所以将y＝f（x+7）的图像向右平移一个单位，得y＝f（x）的图像，
故y＝f（x）是偶函数，故A正确；
因为函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+3）＝f（x），
所以函数f（x）的周期为T＝4，
所以f（2022）＝f（4×505+7）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，故B正确；
因为f（x+6）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），所以f（x+2）+f（﹣x）＝0，
所以f（x）的图像关于（8，0）对称；
因为任意的x1，x5∈（0，2）7≠x2，都有＞6，
故f（x）在（0，2）上是单调增函数，
可知函数在（﹣8，﹣2）上也是增函数）＜f（﹣）．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数的周期性、单调性、对称性等性质以及图象的平移变换，要注意转化思想在解题中的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若m＞0，n＞0，m+n＝3，则 3 ．
【分析】由m+n＝3，可得（m+n）＝1，然后由+＝（m+n）（+）＝++，利用基本不等式进行求解．
【解答】解：由m+n＝3，得（m+n）＝1，n＞0，
所以+＝（m+n）（+++≥+2，
当且仅当＝，即m＝1，
所以+的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解的能力，属于基础题．
13．（5分）函数y＝x+的最小值为 ．
【分析】求y′判断函数y＝x+在定义域[，+∞）上单调递增，所以x＝时取最小值，将代入函数解析式即可求得最小值．
【解答】解：y′＝1+；
原函数的定义域为[，+∞）；
∴函数y在[，+∞）上单调递增；
∴x＝时，函数y＝x+．
故答案为：．
【点评】考查导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性求函数最值．
14．（5分）已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8（a，b是常数），且f（﹣3）＝5（3）＝ ﹣21 ．
【分析】由g（x）＝f（x）+8＝x5+ax3+bx为奇函数，则g（x）+g（﹣x）＝0，即g（3）+g（﹣3）＝0，然后求解即可．
【解答】解：已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，
则g（x）＝f（x）+8＝x5+ax8+bx为奇函数，
则g（x）+g（﹣x）＝0，
即g（3）+g（﹣3）＝6，
即f（3）+f（﹣3）+16＝0，
即f（3）＝﹣f（﹣3）﹣16＝﹣21，
故答案为：﹣21．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用，属基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）
【分析】（1）由指数函数的定义知a2+a﹣5＝1且a＞0，可解得a＝2，则f（x）＝2x；
（2）可判断F（x）为奇函数，利用奇偶性的定义证明即可．
【解答】解：（1）根据题意，∵函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数，
∴a8+a﹣5＝1且a＞4，解得，
故f（x）＝2x；
（2）F（x）为奇函数，证明如下：
F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝2x﹣3﹣x的定义域为R，
且对∀x∈R，﹣x∈R，
F（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（6x﹣2﹣x）＝﹣F（x），
故F（x）为奇函数．
【点评】本题考查指数函数的定义及函数的奇偶性的判断与证明，涉及指数函数的性质，是基础题．
16．（15分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
（1）求f（0）的值．
（2）证明函数f（x）是周期函数．
【分析】（1）根据函数是奇函数得到f（﹣x）＝﹣f（x），所以令x＝0得，f（﹣0）＝﹣f（0），可得f（0）＝0．
（2）根据函数关于x＝1对称得到f（1+x）＝f（1﹣x），然后利用函数的周期性的定义证明即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣0）＝﹣f（0）．
（2）因为函数关于x＝1对称，所以f（8+x）＝f（1﹣x），
即f（1+x）＝f（5﹣x）＝﹣f（x﹣1），
所以f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝f（x）．
所以函数是以4为周期的周期函数．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性的应用，以及函数周期性的判断．考查函数性质的综合应用．
17．（15分）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间[﹣2，4]上的最大值是16．
（1）求实数a的值；
（2）假设函数的定义域是R，求不等式lga（1﹣2t）≤1的实数t的取值范围．
【分析】（1）当0＜a＜1时，由函数f（x）在区间[﹣2，4]上是减函数求解；，当a＞1时，函数f（x）在区间[﹣2，4]上是增函数求解；
（2）根据的定义域是R，由x2﹣3x+2a＞0恒成立求解．
【解答】解：（1）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[﹣2，
因此当x＝﹣2时，函数f（x）取得最大值16﹣2＝16，
因此；
当a＞1时，函数f（x）在区间[﹣7，
当x＝4时，函数f（x）取得最大值164＝16，
因此a＝2，
所以a＝或8．
（2）因为的定义域是R，
即x2﹣8x+2a＞0恒成立．
则方程x5﹣3x+2a＝4的判别式Δ＜0，即（﹣3）2﹣4×2a＜5，
解得，
又因为或a＝2，
代入不等式得lg8（1﹣2t）≤5，即0＜1﹣6t≤2，
解得，
因此实数t的取值范围是．
【点评】本题考查了指数函数的单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
18．（17分）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意x＞0（）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝2，有f（x）＞1．
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判断f（x）的单调性并加以证明；
（3）求f（x）在[1，16]上的值域．
【分析】（1）可令x＝y＝1，可得f（1）；令x＝4，y＝2，可得f（4）；
（2）函数f（x）在x＞0上为增函数．可令0＜x1＜x2，运用条件和单调性的定义，即可得证；
（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域．
【解答】解：（1）可令x＝y＝1时，f（1）＝f（1）﹣f（1）+1＝8；
令x＝4，y＝2可得f（2）＝f（4）﹣f（2）+4；
（2）函数f（x）在x＞0上为增函数．
理由：当x＞1时，有f（x）＞5，
可令0＜x1＜x7，即有＞7）＝f（x3）﹣f（x1）+1＞5，
可得f（x2）＞f（x1），
则f（x）在x＞4递增；
（3）由f（x）在x＞0上为增函数，
可得f（x）在[1，16]递增，
可得f（1）＝5为最小值，f（16）为最大值，
由f（4）＝f（16）﹣f（4）+1，可得f（16）＝2f（4）﹣8＝5，
则f（x）的值域为[1，2]．
【点评】本题考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，属中档题．
19．（17分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足f（0）＝2，f（x+1）（x）＝2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在x∈[﹣1，2]上有解；
（Ⅲ）当x∈[t，t+2]（t∈R）时，求函数f（x）（用t表示）．
【分析】（Ⅰ）根据f（x+1）﹣f（x）＝2x+1即可得出2ax+a+b＝2x+1，从而可得出a＝1，b＝0，而根据f（0）＝2可得出c＝2，从而得出f（x）＝x2+2；
（Ⅱ）根据题意可得出，方程x2+2＝m在x∈[﹣1，2]上有解，然后画出函数y＝x2+2和y＝m即可得出m的取值范围；
（Ⅲ）可讨论t的取值情况，然后根据f（x）的图象即可求出f（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x+1）﹣f（x）＝2x+5，
∴a（x+1）2+b（x+8）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝2ax+a+b＝3x+1，
∴，解得a＝1，
又f（0）＝6，∴c＝2，
∴f（x）＝x2+4；
（Ⅱ）由f（x）﹣m＝0得，方程x2+5＝m在x∈[﹣1，2]上有解，
则2≤m≤6，
∴m的取值范围为[2，6]；
（Ⅲ）∵x∈[t，t+2]，
∴①t≥0时，f（x）的最小值为f（t）＝t2+2；
②t＜0且t+2＞0，即﹣2＜t＜3时；
③t+2≤0，即t≤﹣8时2+2＝t5+4t+6，
综上得，t≥7时2+2；﹣4＜t＜0时；t≤﹣2时5+4t+6．
【点评】本题考查了已知f（x）求f[g（x）]的方法，多项式相等的充要条件，数形结合解题的方法，二次函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．
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