宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有答案]

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有答案]，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，则（ ）
A 1B. C. 2D.
2. 已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 6B. 3C. D.
4. 命题“”否定是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（ ）
A. 5B. 4C. 3D.
6. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A. 60种B. 80种C. 100种D. 125种
7. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ）
A. 曲线在点处的切线方程为
B.
C. 曲线关于点对称
D. 当时，
11. 已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 最小值为2
C. 在上单调递增
D. 若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则
三、填空题
12. 在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为_____.
13. 若是函数的极值点，则_________.
14. 已知函数，若，且，则______．
四、解答题
15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下．
（1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？
（2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中．
参考数据：
16. 记为数列的前项和，已知．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
17. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（i）求最小值；
（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.
19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点．
（1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积．
（2）记三棱锥外接球半径为；
①求的最小值；
②当最小时，求异面直线AB，CP所成角．

答案
1-8
【正确答案】A
【正确答案】A
【正确答案】C
【正确答案】D
【正确答案】A
【正确答案】A
【正确答案】D
【正确答案】D
9.
10.【正确答案】ABC
11.【正确答案】ACD
12.【正确答案】
13.【正确答案】
14.【正确答案】
15.【小问1】
由题意可知，
由查表可得，由于，
所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关．
【小问2】
由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为，
所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人，
可知可取0,1,2，
，
所以的分布列为
从而．
16.【小问1】
令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，
又，
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
小问2】
因为．
所以
．
17.【小问1】
证明：取的中点，连接，，
又是的中点，所以，且．
因为四边形是矩形，所以且，所以，且．
因为是的中点，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，故．
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2】
因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）．
设，所以，．
因为，分别为，的中点，
所以，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由即
令，则，，所以．
设平面一个法向量为，
由即
令，则，，
所以．
所以．
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
18.【小问1】
设椭圆的半焦距为，
因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即，
又椭圆离心率为，所以，则，
所以椭圆C的方程为：
【小问2】
（i）由椭圆方程得，，设，
因为点M在椭圆C上，所以，即，
所以，
所以，
当，即M为椭圆上下顶点时，，
所以求的最小值为；
（ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：，
联立，消去x得，
方程的判别式，
设，，则由韦达定理得，
则，
注意到，即，
所以，
所以
19.【小问1】
在平面四边形ABCD中，作，，交AC延长线于E，由题意知：，
因为，，所以，
即三角形是直角三角形，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
故：；
【小问2】
以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
（ⅰ）设二面角大小为，，
因为，，所以，，
所以，，
所以，
故可设，．
设外接球球心坐标，半径为，
则两式相减，化简得：，
所以：，
上式中，令，，
则，
令，令，所以，
所以，
令，
因为，所以由对勾函数性质可知，的最小值是，
而
，
即的取值范围是，
所以的取值范围是，的取值范围是，
的取值范围是，的取值范围是，
的取值范围是，
所以，
因为，等号成立当且仅当，即，
又因为，所以，即，
解得，，
所以，
（ⅱ）因为，由（i）可知此时，，
因为，所以，，，
所以，
因为异面直线所成角的范围为，
故所求异面直线所成角为．数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
物理成绩优秀
55
20
75
物理成绩不优秀
30
45
75
合计
85
65
150
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
X
0
1
2
P