【中考数学】2025年云南省中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年云南省中考适应性模拟试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（ ）
A．﹣5元B．5元C．﹣10元D．10元
2．（2分）地球绕太阳公转的速度约是110000km/h．110000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×102B．11×103C．1.1×105D．11×107
3．（2分）如图，已知直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．53°B．52°C．51°D．50°
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2x＝3x2B．x2•x3＝x5C．x6÷x2＝xD．（xy）2＝xy2
5．（2分）若点（1，2）在反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2分）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．圆锥D．圆柱
7．（2分）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
8．（2分）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若ADAB=12，则DEBC=（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．（2分）函数y=1x−1的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4B．x≠3C．x≠2D．x≠1
10．（2分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
11．（2分）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
12．（2分）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）aB．（2n+1）aC．（n+1）aD．2025a
13．（2分）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
14．（2分）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2＝6200B．6000（1﹣x）2＝6200
C．6000（1+2x）＝6200D．6000x2＝6200
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（ ）
A．15B．112C．113D．513
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16．（2分）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm．
17．（2分）分解因式：x2+x＝ ．
18．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 ．
19．（2分）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（7分）计算：（π﹣2）0−(3)2+|﹣6|+(15)−1−2cs60°．
21．（6分）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D．
求证：△AOC≌△BOD．
22．（7分）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．
23．（6分）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
25．（8分）请你根据下列素材，完成有关任务．
26．（8分）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T=a24+4a2+1．
（1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值；
（2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小．
27．（12分）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF．
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
2025年云南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（ ）
A．﹣5元B．5元C．﹣10元D．10元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出5元可记作﹣5元．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（2分）地球绕太阳公转的速度约是110000km/h．110000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×102B．11×103C．1.1×105D．11×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：110000＝1.1×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图，已知直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．53°B．52°C．51°D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2，根据∠1＝50°解答即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2x＝3x2B．x2•x3＝x5C．x6÷x2＝xD．（xy）2＝xy2
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：x+2x＝3x，则A不符合题意，
x2•x3＝x5，则B符合题意，
x6÷x2＝x4，则C不符合题意，
（xy）2＝x2y2，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（2分）若点（1，2）在反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接把（1，2）代入反函数中，可得关于k的一元一次方程，解即可．
【解答】解：把点（1，2）代入反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）中，得
2=k1，
解得k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式．经过函数的某点一定在函数的图象上．
6．（2分）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．圆锥D．圆柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确记忆相关知识点是解题关键．
7．（2分）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：一个六边形的内角和等于（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
8．（2分）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若ADAB=12，则DEBC=（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据DE∥BC得△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形的性质即可得出DEBC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9．（2分）函数y=1x−1的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4B．x≠3C．x≠2D．x≠1
【分析】根据分式有意义的条件即可求得答案．
【解答】解：已知函数y=1x−1，
则x﹣1≠0，
即x≠1，
故选：D．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
10．（2分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
11．（2分）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．
故选：C．
【点评】本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
12．（2分）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）aB．（2n+1）aC．（n+1）aD．2025a
【分析】观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【解答】解：第1个代数式为a，
第2个代数式为3a，
第3个代数式为5a，
第4个代数式为7a，
第5个代数式为9a，
…，
以此类推，可知，第n个代数式是 （2n﹣1）a，
故选：A．
【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，正确找出规律是解题的关键．
13．（2分）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
则2πr=90π×40180，
解得r＝10，
即圆锥的底面圆的半径为10cm．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
14．（2分）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2＝6200B．6000（1﹣x）2＝6200
C．6000（1+2x）＝6200D．6000x2＝6200
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程6000（1+x）2＝6200，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
6000（1+x）2＝6200，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（ ）
A．15B．112C．113D．513
【分析】根据正弦的定义即可求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，
∴sinA=BCAB=513，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16．（2分）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 5 cm．
【分析】根据“点P在圆上⇔d＝r”求解即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
17．（2分）分解因式：x2+x＝ x（x+1） ．
【分析】提取公因式x进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x+1），
故答案为：x（x+1）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
18．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 15 ．
【分析】菱形面积=12ab（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝5，
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×6×5＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式．
19．（2分）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 200 名．
【分析】用1000乘以样本中最喜爱娱乐节目的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有1000×20%＝200（名）．
故答案为：200．
【点评】本题考查了扇形统计图和用样本估计总体，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（7分）计算：（π﹣2）0−(3)2+|﹣6|+(15)−1−2cs60°．
【分析】利用零指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝1﹣3+6+5﹣2×12
＝1﹣3+6+5﹣1
＝8．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（6分）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D．
求证：△AOC≌△BOD．
【分析】根据已知条件AC＝BD，∠C＝∠D，结合∠AOC＝∠BOD，利用“AAS”求解即可．
【解答】解：在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D(已知)∠AOC=∠BOD(对顶角相等)AC=BD(已知)，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．（7分）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．
【分析】设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）千克化工原料，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即机器人A每小时搬运化工原料的质量），再将其代入（x+20）中，即可求出机器人B每小时搬运化工原料的质量．
【解答】解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）千克化工原料，
根据题意得：800x=1000x+20，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100（千克）．
答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（6分）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P．
【分析】（1）画树状图，即可得出结论；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果总数，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即（1，1），（2，2），
∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P=26=13．
【点评】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是矩形；
（2）根据矩形的性质得l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，解方程组可得AB＝6，BC＝8，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，
∴b−a=2b+a=14，
∴a=6b=8，
∴AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=10．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）请你根据下列素材，完成有关任务．
【分析】（任务一）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；购买2个篮球和5个排球共需800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60﹣m）个排球，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（任务一）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：2x=3y2x+5y=800，
解得：x=150y=100．
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
（任务二）设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60﹣m）个排球，
根据题意得：w＝150m+100（60﹣m）＝50m+6000，
∵k＝50＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60﹣m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m＝20时，w取得最小值，此时60﹣m＝60﹣20＝40（个）．
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（任务一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务二）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
26．（8分）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T=a24+4a2+1．
（1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值；
（2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小．
【分析】（1）把x＝﹣4，a＝1代入函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，即可求解；
（2）将x＝3a+2，y＝1代入函数整理得﹣3（a+2）（a2﹣4a+1）＝0，然后分当a+2＝0时，即a＝﹣2和当a2﹣4a+1＝0时两种情况求解即可．
【解答】解：（1）把x＝﹣4，a＝1代入函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，
得y＝（﹣4+4）（﹣4﹣12+1﹣3）+1＝1，
∴y的值为1；
（2）将x＝3a+2，y＝1代入函数，
得（3a+2+4）（3a+2﹣a2+a﹣3）+1＝1，
整理得：﹣3（a+2）（a2﹣4a+1）＝0，
①当a+2＝0时，即a＝﹣2，
∴T=(−2)24+4(−2)2+1=95＜3，
②当a2﹣4a+1＝0时，a≠0，
则有a2＝4a﹣1a2+1＝4a，
∴a+1a=4，
∴T=4a−14+44a
=a−14+1a
=4−14
=154＞3，
综上可知：当a＝﹣2时，T＜3；当a2﹣4a+1＝0时，T＞3．
【点评】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
27．（12分）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF．
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△CBE是等边三角形即可；
（2）延长CO交⊙O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM＝90°，即∠AEC+∠AEM＝90°，又∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF，所以∠ACF+∠ACM＝90°然后由切线的判定方法即可求证；
（3）设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC＝∠BAC，CE＝CB，通过圆周角定理可得∠EAC＝∠EBC＝∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有BCAC=CNCB，AEAC=ANAB，即有BC2＝AC•CN①，AE•AB＝AC•AN②，然后通过①+②即可求解．
【解答】解：（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°；
（2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图，
∵CM是⊙O的直径，
∴∠CEM＝90°，
∴∠AEC+∠AEM＝90°，
∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACM＝90°，
∴∠MCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CF是⊙O的切线；
（3）解：存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC，
∴CE＝CB，
∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC，
∴△BCN∽△ACB，
∴BCAC=CNCB，
∴BC2＝AC•CN①，
∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC，
∴△AEN∽△ACB，
∴AEAC=ANAB，
∴AE•AB＝AC•AN②，
①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2，
∵CE＝CB，
∴AC2＝BC•CE+AB•AE，
∴此时a＝1，b＝1．
∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
背景
某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二
购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三
该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．
请完成下列任务：
任务一
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A．
C．
D
B
B
D
C
A
D
C
C
题号
12
13
14
15
答案
A
B
A
D
背景
某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二
购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三
该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．
请完成下列任务：
任务一
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案．