2024-2025学年河南省三门峡市渑池第二高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省三门峡市渑池第二高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），文件包含分层练习16第六章第三讲电功率教师版docx、分层练习16第六章第三讲电功率学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
1.在平行四边形ABCD中，AB+AD等于( )
A. ACB. BDC. BCD. CD
2.与向量a=(−3,4)反向的单位向量是( )
A. b=(35,−45)B. b=(−35,45)C. b=(45,−35)D. b=(−45,35)
3.设复数z满足(1+i)z=4i，则|z|=( )
A. 22B. 2 2C. 2D. 2 2
4.设平面向量m=(−1,2)，n=(2,1)，则|m−n|=( )
A. 5B. 10C. 13D. 3 5
5.下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 两条直线确定一个平面D. 梯形可确定一个平面
6.已知a=(2,1)，b=(3,5)，则b−a在a上的投影向量为( )
A. (15,25)B. (45,25)C. (85,45)D. (125,65)
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3a=5b，A=2π3，则sinB=( )
A. 3 310B. 310C. 3 25D. 35
8.已知正方体的内切球的体积为4 3π，则该正方体的外接球的表面积为( )
A. 12πB. 36πC. 9 3πD. 12 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量a=(2,0)，b=(1, 3)，则( )
A. |b|=2 B. a⋅b=2 C. b在a上的投影向量为12a D. a与b的夹角为π6
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有( )
A. HG//CD
B. CD与EF异面
C. EF与AB异面
D. GH//AB
11.已知复数z=5−4i，以下说法正确的是( )
A. z的实部是5B. |z|= 41
C. z−=5+4iD. z在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(x,2)，b=(3,−1)，若a//b，则a⋅b= ______．
13.已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ．
14.已知向量a=(t,−1)，b=(t,16t)，t≠0，且a与b的夹角为锐角，则t的取值范围是______(用区间表示)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设x∈R，向量a=(1,2)，b=(x,1)
(Ⅰ)当a+2b与2a−b平行时，求x；
(Ⅱ)当a+2b与2a−b垂直时，求|a+b|.
16.(本小题15分)
如图，已知M，N，P，Q分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，AC=BD.求证：
(1)四边形MNPQ是菱形；
(2)AC//平面MNP．
17.(本小题15分)
已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+c2+ac=b2．
(1)求B；
(2)若a=3c，D是AC的中点，且BD= 7，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M在棱PD上，PB//平面ACM．
(1)试确定点M的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥P−ABCD的表面积．
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3bsinC−c(2sinC−csB)=0，且C=23π．
(1)求A的大小；
(2)若AC边上的中线BD=2 7，求△ABC的周长．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB+AD=AC．
故选：A．
利用向量的平行四边形法则即可得出．
本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设与向量a=(−3,4)反向的单位向量是b，
则b=−a|a|=−1 (−3)2+42⋅(−3,4)=(35,−45)．
故答案为：A．
反向单位向量即为−a|a|，代入计算即可．
本题考查了单位向量的计算，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：由(1+i)z=4i，
得z=4i1+i=4i(1−i)(1−i)(1+i)=2+2i，
则|z|= 22+22=2 2．
故选：D．
由(1+i)z=4i，得z=4i1+i，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为m=(−1,2)，n=(2,1)，
所以m−n=(−1,2)−(2,1)=(−3,1)，
所以|m−n|= 9+1= 10．
故选：B．
利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解．
本题考查平面向量模的求解，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：A.由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项惜误；
B.一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
C.两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
D.梯形可确定一个平面，所以该选项正确．
故选：D．
利用直线和平面的位置关系判断各个选项即得解．
本题考查平面的基本性质，考查学生的推理能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：a=(2,1)，b=(3,5)，
则b−a=(1,4)，
(b−a)⋅a=2+4=6，|a|= 5，
则b−a在a上的投影向量为(b−a)⋅a|a|×a|a|=65a=(125,65)．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：由3a=5b，根据正弦定理得3sinA=5sinB，可得sinB=35sinA，
因为A=2π3，所以sinB=35sin2π3=35× 32=3 310．
故选：A．
根据3a=5b，利用正弦定理算出sinB=35sinA，结合A=2π3算出答案．
本题主要考查利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设正方体的棱长为a，该正方体内切球的半径为r，该正方体外接球的半径为R，
则r=a2，R= 32a，
又正方体的内切球的体积为43πr3=43π×(a2)3=4 3π，解得a=2 3，
所以R= 32a=3，
所以外接球的表面积为43πR3=4π×32=36π．
故选：B．
利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体棱长关系，即可求解．
本题考查正方体的内切球与外接球问题，属基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为b=(1, 3)，所以|b|=2，故A正确；
对于B，由a=(2,0)，b=(1, 3)，
可得a⋅b=2，故B正确；
对于C，由投影向量的定义可知：
所以b在a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=22⋅a2=12a，故C正确；
对于D，因为cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=22×2=12，
又0≤〈a,b〉≤π，所以〈a,b〉=π3，故D错误．
故选：ABC．
利用向量模与数量积的坐标表示判断AB，利用投影向量公式判断C，利用向量夹角公式判断D，从而得解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据正方体的展开图画出正方体如图所示：
由图可得：HG//CD，CD与EF相交，EF与AB异面，GH与AB相交．
故选：AC．
可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项．
本题考查几何体的结构特征，空间中直线的位置关系，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：复数z=5−4i的实部是5，故A正确；
由z=5−4i，得|z|= 52+(−4)2= 41，故B正确；
z−=5+4i，故C正确；
复数z在复平面内对应的点的坐标为(5,−4)，在第四象限，故D错误．
故选：ABC．
根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD．
本题考查复数的基本概念及复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
12.【答案】−20
【解析】解：因为a//b，所以6+x=0，即x=−6，
则a⋅b=3x−2=−20．
故答案为：−20．
根据向量平行求出x，再求出a⋅b即可
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
13.【答案】9 3π
【解析】解：由已知可得，圆锥的底面半径r=3，高ℎ= 62−32=3 3，
∴圆锥的体积为V=13π×32×3 3=9 3π．
故答案为：9 3π．
14.【答案】(−∞,−116)∪(−116,0)∪(16,+∞)．
【解析】解：因为a与b的夹角为锐角，所以a⋅b>0且a、b不共线，
因为a=(t,−1)，b=(t,16t)，t≠0，
所以t2−16t>0且16t2≠−t，解得t>16或t0且a、b不共线，由此建立关于t的不等式，解出实数t的取值范围．
本题主要考查平面向量数量积的定义与性质、向量的数量积的坐标表示、不等式的解法等知识，属于基础题．
15.【答案】解：(Ⅰ)∵a+2b=(1，2)+2(x，1)=(1+2x，4)，2a−b=2(1,2)−(x,1)=(2−x,3)，
又a+2b与2a−b平行，∴4(2−x)−3(1+2x)=0，化为2x=1，解得x=12．
(Ⅱ)∵a⊥b，∴(1+2x)(2−x)+12=0，
化为2x2−3x−14=0，
解得 x=72或x=−2，
当x=−2时，b=(−2,1)，a+b=(−1,3)，∴|a+b|= (−1)2+32= 10．
当x=72时，b=(72,1)，∴a+b=(92,3)，∴|a+b|= (92)2+32=3 132．
∴|a+b|= 10或3 132．
【解析】(I)利用向量运算法则和向量共线定理即可得出．
(II)利用向量垂直与数量积的关系、数量积的性质即可得出．
本题考查了向量运算法则及其性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
16.【答案】证明见解析；
证明见解析．
【解析】证明：(1)由题意得M，N，P，Q分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
则MQ是△ABD的中位线，NP是△CBD的中位线，
由中位线定理得MQ//BD，NP//BD且MQ=NP=12BD，
同理可得PQ=12AC，PQ//AC，
因为AC=BD，
所以NP=PQ，
因为MQ//BD，NP//BD，
所以MQ//NP，
故四边形MNPQ为平行四边形，
因为NP=PQ，
所以四边形MNPQ是菱形，得证；
(2)由(1)可得PQ//AC，
而PQ⊂平面MNPQ，且AC⊄平面MNPQ，
得到AC//平面MNPQ，
故AC//平面MNP，得证．
(1)利用中位线定理得到MQ//NP，MQ=NP，进而证明平行四边形，再结合给定条件得到NP=PQ，证明菱形即可．
(2)利用中位线定理得到PQ//AC，再利用线面平行的判定定理求解即可．
本题考查了中位线定理，线面平行的判定，考查了数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】B=2π3；
3 3．
【解析】解：(1)在△ABC中，因为a2+c2+ac=b2，即a2+c2−b2=−ac，
由余弦定理可得：a2+c2−b2=2accsB，
可得csB=−12，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3；
(2)因为D是AC的中点，所以2BD=BA+BC，
可得4BD2=BA2+BC2+2BA⋅BC=BA2+BC2+2|BA|⋅|BC|csB，BD= 7，a=3c，
即4×7=c2+9c2+2×c×3c×(−12)，
解得c=2，a=3c=6，
所以△ABC的面积为S=12acsinB=12×6×2× 32=3 3．
(1)由余弦定理，结合题意，可得答案；
(2)由向量的线性运算，结合向量数量积的运算律，建立方程，利用三角形面积公式，可得答案．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设AC∩BD=O，则O是BD的中点，
设点M为PD中点，
∵在△PBD中，PB/​/OM，PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，
∴PB/​/平面ACM．
故当点M为PD中点时，PB/​/平面ACM．
(2)∵四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，
∴四棱锥P−ABCD的表面积=1×1+2×12×1×1+2×12×1× 2=2+ 2．
【解析】(1)设AC∩BD=O，则O是BD的中点，设点M为PD中点，在△PBD中，PB/​/OM，由此能够确定M的位置使PB/​/平面ACM．
(2)根据四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，可求四棱锥P−ABCD的表面积
本题考查满足条件的点的位置的确定，考查四棱锥P−ABCD的表面积的求法，属于中档题．
19.【答案】A=π6；
8+4 3．
【解析】解：(1)因为 3bsinC−c(2sinC−csB)=0，且C=23π，
由正弦定理可得： 3sinBsinC−sinC(2sinC−csB)=0
又sinC≠0，所以 3sinB−2sinC+csB=0，
即sin(B+π6)=sinC= 32，
又因为B∈(0,π3)，B+π6∈(π6,π2)，
所以B+π6=π3，即B=π6，
可得A=π6；
(2)由(1)得B=A=π6，则△ABC是以C为顶角的等腰三角形，
设CD=x>0，则AC=BC=2x，
在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅csC=4x2+x2+2x2=28，
解得x=2，
即AC=BC=4，
由正弦定理可得ABsinC=ACsinB，即AB 32=412，
可得AB=4 3，
所以C△ABC=4+4+4 3=8+4 3．
(1)利用正弦定理进行边角互换，再根据三角恒等变换可得解；
(2)结合(1)可得该三角形为等腰三角形，再根据余弦定理可得解．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．