2024-2025学年河南省三门峡市渑池县第二高级中学高二下学期第一次月考（3月）数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省三门峡市渑池县第二高级中学高二下学期第一次月考（3月）数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有( )
A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种
2.在x− x4的展开式中，x3的系数为( )
A. 6B. −6C. 12D. −12
3.下列求导运算正确的是( )
A. e1−x′=e1−x B. cs3x′=−sin3x C. ( x−1)′=2 x−1 D. xlnx′=1+lnx
4.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种
5.已知limΔx→0sinx0+Δx−sinx0Δx=1,x0∈−π2,π2，则sinx0=( )
A. 12B. 32C. 1D. 0
6.已知曲线fx=lnx+ax2+2在点Q1,f1处的切线与直线x+4y+8=0垂直，则a的值为( )
A. −32B. −1C. 1D. 32
7.设1+ax5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5满足a1+a2+⋯+a5=−2，则a2+a4=( )
A. 120B. −120C. 40D. −40
8.若函数y=x3−2ax在(0, 3)内无极值，则实数a的取值范围是( )
A. (0,92) B. (−∞,0] C. (−∞,0]∪[92,+∞) D. (−∞,0]∪(92,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数y=fx的导函数y=f′x的图象如图所示，下列命题中正确的是( )
A. −3是函数y=fx的极值点B. y=fx在区间−3,1上单调递增
C. −1是函数y=fx的最小值点D. y=fx在x=0处切线的斜率小于零
10.某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有( )
A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D. 如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11.已知二项展开式fx=x3−1x8，下列说法正确的有( )
A. fx的展开式中的常数项是56
B. fx的展开式中的各项系数之和为0
C. fx的展开式中的二项式系数最大值是70
D. fi=−16，其中i为虚数单位
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有 ．
13.已知函数fx=12x−csx,x∈−π2,π2，则fx的最大值为 ．
14.已知定义在(0,+∞)的函数f(x)满足f(x)−xf′(x)0的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=ax2+blnx在x=1处有极值12．
(1)求a,b的值；
(2)求函数y=fx的单调减区间．
16.(本小题15分)
若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，其中a3=56．
(1)求m的值；
(2)求a1+a2+⋯+a8；
(3)求a0+a2+a4+a6+a82−a1+a3+a5+a72．
17.(本小题15分)
已知函数fx=ax−lnx，a∈R．
(1)当a=2时，求函数fx在点1,f1处的切线方程；
(2)试判断函数fx的单调性．
18.(本小题17分)
为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
19.(本小题17分)
已知函数fx=x2lnx−ax3+x2a∈R．
(1)证明：曲线y=fx在x=1处的切线l恒过定点；
(2)已知fx有两个零点x1,x2，且x2>3x1，证明： x12+x22>3 2e．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.D
5.D
6.D
7.A
8.C
9.AB
10.AC
11.BC
12.72
13.π4
14.0,1
15.(1)因为f′x=2ax+bx，又fx在x=1处有极值12，
得f1=12f′1=0，即a=122a+b=0，解得a=12,b=−1，
此时f′x=x−1x=x−1x+1x，令f′x=0，得到x=1，
当x∈0,1时，f′x0，
所以fx在x=1处取到极小值，故a=12,b=−1满足题意，
所以a=12,b=−1．
(2)由(1)可知fx=12x2−lnx，其定义域是0,+∞，且f′x=x−1x=x+1x−1x，
由f′x0，
所以lnx1−ax1+1=0，lnx2−ax2+1=0，
即ax1=lnx1+1，ax2=lnx2+1；
当a=0时，方程lnx+1=0只有一解，不满足题意；
当a≠0时，两式相比得，x2x1=lnx2+1lnx1+1.令x2x1=t，因为x2>3x1，所以t>3，
所以t=lnt+lnx1+1lnx1+1，解得lnx1=lnt+1−tt−1=lntt−1−1，lnx2=lnt+lnx1=tlntt−1−1，
所以lnx1+lnx2=t+1t−1lnt−2，
令gt=t+1t−1lnt−2，则g′t=t−1t−2lntt−12，
令ℎt=t−1t−2lnt，则ℎ′t=t2−2t+1t2≥0
所以ℎt在3,+∞上单调递增.因为ℎ(1)=0且t>3，所以ℎt>0，
所以g′t>0，gt在3,+∞上单调递增，所以lnx1+lnx2>2ln3−2，
所以x1x2>e2ln3−2=9e2．
因为x 12+x 22≥2x1x2>18e2，
所以 x 12+x 22>3 2e．