2025-2026学年四川省南充市西充中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省南充市西充中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法一定正确的是( )
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 一个骰子掷一次得到2的概率是16，则掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
2.某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为( )
A. 125
B. 100
C. 150
D. 120
3.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为( )
A. 0.5B. 0.6C. 0.65D. 0.68
4.为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则下列结论不正确的是( )
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
5.如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记AB=a，AC=b，AD=c，则BE=( )
A. a−12b+12cB. −a+12b+12c
C. 12a−b+12cD. −12a+b+12c
6.已知α，β是两个不同的平面，α//β的一个充要条件是( )
A. α内有无数条直线平行于β
B. 存在平面γ，α⊥γ，β⊥γ
C. 存在平面γ，α∩γ=m，β∩γ=n，且m//n
D. 存在直线l，l⊥α，l⊥β
7.已知事件A，B，且P(A)=0.2，P(B)=0.8，则下列说法正确的是( )
A. 若A⊆B，则P(A⋃B)=0.8，P(AB)=0.6
B. 若A与B互斥，则P(A⋃B)=0.8，P(AB)=0.6
C. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=1，P(AB)=0
D. 若A与B相互独立，则P(A⋃B)=0.84，P(AB)=0.16
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是( )
A. 甲与乙不互斥B. 丙发生的概率为16C. 甲与丁相互独立D. 乙与丙相互独立
9.已知一组样本数据xi(i=1,2,3,⋯,20)，其中xi(i=1,2,3,⋯,20)为正实数.满足x1≤x2≤x3≤⋯≤x20，下列说法正确的是( )
A. 样本数据的第50百分位数为x10+x112
B. 已知这组数据的极差是6，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x20−1的极差是11
C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
D. 样本数据的方差s2=120i=120xi2−16，则这组样本数据的总和等于80
10.已知圆柱O1O2的高为2，EF为下底面圆O1的一条直径，D为上底面圆周上任意一点，球O内切于圆柱O1O2，则( )
A. 球O的体积为4π3
B. 圆柱的表面积为4π
C. 直线OE与圆柱上底面所成的角为45°
D. 若直线OD，EF为异面直线，则平面DEF与下底面所成角的正切值最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
11.已知a、b、c三个不共面的空间向量，若m=a−b+c与n=xa+yb+c共线，则x+y的值为 ．
12.小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小华一共前进n步的概率为Pn，则P2=______，Pn=______.(用Pn−1，Pn−2表示Pn，n≥3)
13.如图1，在平面四边形ABCD中，△ACD是边长为2的等边三角形，∠ABC=π2，将△ACD沿AC翻折，使得点D到点P的位置，如图2所示.若平面PAC⊥平面ABC，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
如图，在空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC．
(1)求BA⋅BC；
(2)求CD的长．
15.(本小题12分)
某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
16.(本小题12分)
如图为正四棱锥P−ABCD，O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5，AD=3 2，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
17.(本小题12分)
2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
18.(本小题13分)
若Ωn={a|a=(a1,a2,…,ai,…,an)，ai∈R，i=1，2，…，n}，则称Ωn为n维空间向量集，0={0,0,…,0}为零向量.对于k∈R，任意a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)，定义：
①数乘运算：ka=(ka1,ka2,⋯,kan)；
②加法运算：a+b=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)；
③数量积运算：a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn；
④向量的模：|a|= a12+a22+…+an2．
对于Ωn中一组向量ai(i=1,2,⋯,m)，若存在一组不同时为零的实数ki(i=1,2,⋯,m)使得k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
(1)对于n=3，判断下列各组向量是否线性相关：
①a=(−1,1,1),b=(−2,2,2)；
②a=(−1,1,1),b=(−2,2,2),c=(3,1,−4)；
(2)已知α1,α2,α3,α4线性无关，试判断α1−α2,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于Ωn中的任意两个元素α,β，均有|α+β|2≥4α⋅β．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.A
5.B
6.D
7.D
8.AC
9.ACD
10.ACD
11.0
12.34 12Pn−1+12Pn−2(n≥3)
13.16π3
14.解：(1)在空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC，
则BA⋅BC=|BA||BC|cs=3×4×(−12)=−6；
(2)因为DC=DA+AB+BC，
则DC2=DA2+AB2+BC2+2DA⋅AB+2DA⋅BC+2AB⋅BC=25+9+16+2×5×3×12+2×5×4×0+2×3×4×12=77，
即|DC|= 77，
即CD的长为 77．
15.解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则P(A)=23，P(A−)P(C−)=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
即[1−P(A)][1−P(C)]=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
所以P(B)=34，P(C)=45，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为34，45；
(2)有3个家庭回答正确的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=23×34×45=25，
有2个家庭回答正确的概率为：
P2=P(A−BC+AB−C+ABC−)=13×34×45+23×14×45+23×34×15=1330，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=P2+P3=1330+25=56．
16.解：(1)因为P−ABCD是正四棱锥，
所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，
因为AD=3 2，
所以AO=OD=OB=OC=3，
因为AP=5，
所以PO= AP2−AO2=4，
所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，
所以V圆锥=13Sℎ=13π×32×4=12π；
(2)如图建立空间直角坐标系，

因为AP=AD，由题知P−ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，
设AB= 2a，
则AO=OD=OB=OC=a，PO= AP2−AO2=a，
则O(0,0,0)，P(0,0,a)，A(0,−a,0)，B(a,0,0)，C(0,a,0)，D(−a,0,0)，E(a2,0,a2)，
故BD=(−2a,0,0)，AC=(0,2a,0)，AE=(a2,a,a2)，
设n=(x1,y1,z1)为平面AEC的法向量，
则n⋅AC=0n⋅AE=0，即2a⋅y1=0a2⋅x1+a⋅y1+a2⋅z1=0，令x1=1，则y1=0，z1=−1，
所以n=(1,0−1)，
则cs〈n,BD〉=n⋅BD|n|⋅|BD|=−2a|2a|⋅| 2|=− 22，
设直线BD与面AEC所成角为θ，
因为sinθ=|cs〈n,BD〉|= 22，
θ∈[0,π2]，
则θ=π4，
故直线BD与平面AEC所成角的大小为π4．
17.解：(1)设这m人的平均年龄为x−，
则x−=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(岁)，
设上四分位数(第75百分位数)为a，
∵0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.70.75，
∴a位于第四组：[35,40)内；
由0.1+0.35+0.25+(a−35)×0.04=0.75，
解得a=36.25；
(2)(i)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，
对应的样本空间为：Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点，
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，
则M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点，
所以P(M)=n(M)n(Ω)=35；
(ii)设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z−，方差为s2，
设第四组的宣传使者的年龄分别为x1，x2，x3，x4，平均数为x−=36，方差为s12=52，
设第五组的宣传使者的年龄分别为y1，y2，平均数为y−=42，方差为s22=1，
则x−=14i=14xi，y−=12i=12yi，s12=14i=14(xi−x−)2=14(i=14xi2−4x−2)，
s22=12i=12(yi−y−)2=12(i=12yi2−2y−2)，
可得i=14xi=4x−，i=12yi=2y−，i=14xi2=4s12+4x−2，i=12yi2=2s22+2y−2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z−，方差为s2．
则z−=i=14xi+i=12yi6=4x−+2y−6=4×36+2×426=38，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，
s2=16[i=14(xi−z−)2+i=12(yi−z−)2]=16[(i=14xi2−4z−2)+(i=12yi2−2z−2)]
=16(4s12+4x−2−4z−2+2s22+2y−2−2z−2)
=16×(4×52+4×362−4×382+2×1+2×422−2×382)=10．
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10．
18.解：(1)对于①，假设a与b线性相关，
则存在不全为零的实数k1，k2使得k1a+k2b=0，
则−4b1−2k2=0,k1+2k3=0,即k1+2k2=0，
可取k1=2，k2=−1满足方程组，所以a,b线性相关；
对于②，假设a,b,c线性相关，则存在不全为零的实数k1，k2，k3，
使得k1a+k2b+k3c=0，则−k1−2k2+3k3=0,k1+2k2+k3=0,k1+2k2−4k3=0,
可取k1=2，k2=−1满足方程组，所以a,b,c线性相关；
(2)假设α1−α2,2α1−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性相关．
则存在不全为零的实数k1，k2，k3，k4，
使得k1(α1−α2)+k2(2α1−3α3)+k3(3α3−4α4)+k4(4α4−α1)=0，
即(k1−k4)α1+(2k2−k1)α2+(3k3−3k2)α3+(4k4−4k3)α4=0，
因为α1,α2,α3,α4线性无关，
所以k1−k4=0,2k2−k1=0,3k3−3k2=0,4k4−4k3=0,解得k1=k2=k3=k4=0，与线性相关定义相矛盾，
所以向量α1−α1,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性无关；
(3)证明：设α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn)，
则由题设定义，可得：
α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)，
α⋅β=a1b1+a2b2+⋯+anbn，
则|α+β|2=(a1+b1)2+(a2+b2)2+⋯+(an+bn)2，
所以|α+β|2−4α⋅β=(a1+b1)2+(a2+b2)2+⋯+(an+bn)2−4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)
=(a12−2a1b1+b12)+(a22−2a2b2+b22)+…+(an2−2anbn+bn2)
=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(an−bn)2≥0，
当且仅当ai=bi，i=1，2，⋯n成立时，等号成立，
所以|α+β|2≥4α⋅β，故原式得证．