2025-2026学年四川省西充中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省西充中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.下列说法一定正确的是( )
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 一个骰子掷一次得到2的概率是16，则掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
2.某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为( )
A. 125B. 100C. 150D. 120
3.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1∼5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为( )
A. 0.5B. 0.6C. 0.65D. 0.68
4.为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则下列结论不正确的是( )
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
5.如图所示，在四面体A−BCD中，点E是CD的中点，记AB=a，AC=b，AD=c，则BE等于( )
A. −a+12b+12c B. a−12b+12c C. 12a−b+12c D. −12a+b+12c
6.已知α,β是两个不同的平面，α//β的一个充要条件是( )
A. α内有无数条直线平行于β
B. 存在平面γ,α⊥γ,β⊥γ
C. 存在平面γ,α∩γ=m,β∩γ=n，且m//n
D. 存在直线l,l⊥α,l⊥β
7.已知事件A,B，且P(A)=0.2，P(B)=0.8，则下列说法正确的是( )
A. 若A⊆B，则P(A∪B)=0.8，P(AB)=0.6
B. 若A与B互斥，则P(A∪B)=0.8，P(AB)=0.6
C. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=1，P(AB)=0
D. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.84，P(AB)=0.16
8.在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A. 甲地总体均值为3，中位数为4B. 乙地总体均值为2，总体方差大于0
C. 丙地中位数为3，众数为3D. 丁地总体均值为2，总体方差为3
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是( )
A. 甲与乙不互斥B. 丙发生的概率为16C. 甲与丁相互独立D. 乙与丙相互独立
10.已知一组样本数据xi(i=1,2,3,⋅⋅⋅,20)，其中xi(i=1,2,3,⋅⋅⋅,20)为正实数.满足x1≤x2≤x3≤⋅⋅⋅≤x20.下列说法正确的是( )
A. 样本数据的第50百分位数为x10+x112
B. 已知这组数据的极差是6，则数据2x1−1,2x2−1,⋅⋅⋅,2x20−1的极差是11
C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
D. 样本数据的方差s2=120i=120xi2−16，则这组样本数据的总和等于80
11.已知圆柱O1O2的高为2，EF为下底面圆O1的一条直径，D为上底面圆周上任意一点，球O内切于圆柱O1O2，则( )
A. 球O的体积为4π3
B. 圆柱的表面积为4π
C. 直线OE与圆柱上底面所成的角为45°
D. 若直线OD，EF为异面直线，则平面DEF与下底面所成角的正切值最小值为2
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知a、b、c三个空间向量，若m=a−b+c与n=xa+yb+c共线，则x+y的值为 ．
13.小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1∼10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进n步的概率为Pn，则P2= ，Pn= .(用Pn−1,Pn−2表示Pn,n≥3)
14.如图1，在平面四边形ABCD中，▵ACD是边长为2的等边三角形，∠ABC=π2，将▵ACD沿AC翻折，使得点D到点P的位置，如图2所示．若平面PAC⊥平面ABC，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.如图，在空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC．
(1)求BA⋅BC；
(2)求CD的长．
16.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17.如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5,AD=3 2，求▵POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
18.2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35∼45岁所有人的年龄的方差．
19.若Ωn= aa=a1,a2,⋯,ai,⋯,an,ai∈R,i=1,2,⋯,n，则称Ωn为n维空间向量集，0=0,0,⋯,0为零向量，对于k∈R，任意a=a1,a2,⋯,an,b=b1,b2,⋯,bn，定义：
①数乘运算：ka=ka1,ka2,⋯,kan；
②加法运算：a+b=a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn；
③数量积运算：a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn；
④向量的模：a= a12+a22+⋯+an2，
对于Ωn中一组向量ai(i=1,2,⋯,m)，若存在一组不同时为零的实数ki(i=1,2,⋯,m)使得k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于n=3，判断下列各组向量是否线性相关：
①a=(−1,1,1),b=(−2,2,2)；
②a=(−1,1,1),b=(−2,2,2),c=(3,1,−4)；
(2)已知α1,α2,α3,α4线性无关，试判断α1−α2,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于Ωn中的任意两个元素α,β，均有α+β2≥4α⋅β，
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.A
5.A
6.D
7.D
8.D
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.0
13.34/0.75
；12Pn−1+12Pn−2(n≥3)
14.16π3/163π
15.(1)因为AB=3，BC=4，∠ABC=120°，
所以BA⋅BC=BABCcsBA,BC=3×4×cs120°=−6；
(2)因为CD=CB+BA+AD，
所以CD2=CB+BA+AD2=CB2+BA2+AD2+2CB⋅BA+BA⋅AD+CB⋅AD
=16+9+25+24×3×cs60°+3×5×cs60°+4×5×cs90°=77，
所以CD=CD= 77．

16.(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则P(A)=23，P(A)P(C)=115，P(B)P(C)=35，
即[1−P(A)][1−P(C)]=115，P(B)P(C)=35，
所以P(B)=34，P(C)=45，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为34，45；
(2)有3个家庭回答正确的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=23×34×45=25，
有2个家庭回答正确的概率为：
P2=P(ABC+ABC+ABC)=13×34×45+23×14×45+23×34×15=1330，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=P2+P3=1330+25=56．

17.(1)正四棱锥满足且PO⊥平面ABCD，由AO⊂平面ABCD，则PO⊥AO，
又正四棱锥底面ABCD是正方形，由AD=3 2可得，AO=3，
故PO= PA2−AO2=4，
根据圆锥的定义，▵POA绕PO旋转一周形成的几何体是以PO为轴，AO为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为PO=4，底面半径为AO=3，
根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是13×π×32×4=12π
(2)连接EA,EO,EC，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由E是PB中点，则AE⊥PB,CE⊥PB，又AE∩CE=E,AE,CE⊂平面ACE，
故PB⊥平面ACE，即BE⊥平面ACE，又BD∩平面ACE=O，
于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为∠BOE，
不妨设AP=AD=6，则BO=3 2,BE=3，sin∠BOE=33 2= 22，
又线面角的范围是0,π2，
故∠BOE=π4.即为所求．

18.(1)设这m人的平均年龄为x，则
x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(岁)
设上四分位数(第75百分位数)为a，
∵0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.70.75，
∴a位于第四组：[35,40)内；
方法一：由5×0.02+(40−a)×0.04=0.25，解得a=36.25．
方法二：由0.1+0.35+0.25+(a−35)×0.04=0.75，解得a=36.25．
(2)(i)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，对应的样本空间为：
Ω=(A,B),(A,C),(A,甲),(A,乙),(A,D),(B,C),
(B,甲),(B,乙),(B,D),(C,甲),(C,乙),(C,D),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)，
共15个样本点．
设事件M=“甲､乙两人至少一人被选上”，则
M=A,甲,A,乙,B,甲,B,乙,C,甲,C,乙,甲,乙,甲,D,乙,D，
共有9个样本点.所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．
(ii)设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2．
设第四组的宣传使者的年龄分别为x1,x2,x3,x4，平均数为x=36，方差为s12=52，
设第五组的宣传使者的年龄分别为y1，y2，平均数为y=42，方差为s22=1，
则x=14i=14xi，y=12i=12yi，s12=14i=14xi−x2=14i=14xi2−4x2，
s22=12i=12yi−y2=12i=12yi2−2y2，
可得i=14xi=4x，i=12yi=2y，i=14xi2=4s12+4x2，i=12yi2=2s22+2y2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2．
则z=i=14xi+i=12yi6=4x+2y6=4×36+2×426=38，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，
法一：s2=16i=14xi−z2+i=12yi−z2=16i=14xi2−4z2+i=12yi2−2z2
=164s12+4x2−4z2+2s22+2y2−2z2
=16×4×52+4×362−4×382+2×1+2×422−2×382=10．
法二：s2=164×s12+x−z2+2×s22+y−z2
=164×52+(36−38)2+2×1+(42−38)2=10．
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10；
据此估计这m人中年龄在35∼45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10．

19.(1)对于①，假设a与b线性相关，
则存在不全为零的实数k1,k2使得k1a+k2b=0，
则−k1−2k2=0k1+2k2=0，即k1+2k2=0，
可取k1=2,k2=−1，所以a,b线性相关，
对于②，假设a,b,c线性相关，
则存在不全为零的实数k1,k2,k3使得k1a+k2b+k3c=0，
则−k1−2k2+3k3=0k1+2k2+k3=0k1+2k2−4k3=0，得k1+2k2=0,k3=0，
可取k1=2,k2=−1，所以a,b,c线性相关．
(2)假设α1−α2,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性相关，
则存在不全为零的实数k1,k2,k3,k4，
使得k1α1−α2+k22α2−3α3+k33α3−4α4+k44α4−α1=0，
则k1−k4α1+2k2−k1α2+3k3−3k2α3+4k4−4k3α4=0，
因为α1,α2,α3,α4线性无关，
所以k1−k4=02k2−k1=03k3−3k2=04k4−4k3=0，得k1=k2=k3=k4=0，矛盾，
所以向量α1−α2,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性无关．
(3)设α=a1,a2,⋯,an,β=b1,b2,⋯,bn，
则α+β=a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn，
所以α+β2=a1+b12+a2+b22+⋯+an+bn2，
又α⋅β=a1b1+a2b2+⋯+anbn，
所以α+β2−4α⋅β=a1+b12+a2+b22+⋯+an+bn2−4a1b1+a2b2+⋯+anbn
=a1−b12+a2−b22+⋯+an−bn2≥0，
当且仅当a1=b1,a2=b2,⋯,an=bn同时成立时，等号成立，
所以α+β2≥4α⋅β．