天津市河北区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份天津市河北区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∈Nx0，x2−2x+a≤0B. ∃x>0，x2−2x+a≤0
C. ∀x≤0，x2−2x+a>0D. ∃x≤0，x2−2x+a>0
3.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温(单位：°C)，分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.已知α，β是两个平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，l⊥α，则m//lB. 若m//α，α⊥β，则m⊥β
C. 若m⊥α，l⊥m，则l//αD. 若α//β，m⊥α，则m⊥β
5.已知函数f(x)=x|x|−2x，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数，递减区间是(−∞,−1)B. f(x)是奇函数，递减区间是(−1,1)
C. f(x)是偶函数，递增区间是(1,+∞)D. f(x)是偶函数，递增区间是(−∞,−1)
6.已知等比数列an是递增数列，其前n项和为Sn，a4a5=3，a3+a6=4，则S6S3=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知2a=3b=m(ab≠0)，且2ab=a+b，则m等于( )
A. 2B. 3C. 6D. 6
8.若函数f(x)=2 3sinωxcsωx−2cs2ωx+1(ω>0)，①函数f(x)的最小正周期为π，则ω=2；②当ω=2时，f(x)在区间0,π6上单调递增；③当ω=2时，π24,0为函数f(x)的一个对称中心；④若f(x)在0,π3上有且只有两个零点，则ω∈74,134.其中正确结论的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
9.设F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若▵FOH的内切圆与x轴切于点B，且BF=3OB，则双曲线的离心率为( )
A. 2+2 73B. 3+2 73C. 4+ 73D. 5+ 73
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若z(1+i)=2+3i，则复数z的虚部是 ．
11.已知(2x+1)n的展开式中，各项系数之和为81，则二项式系数之和为 ．
12.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F恰为圆x2+y2−2y−24=0的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为 ．
13.甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球(除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同).先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则P(B|A1)= ，P(B)= ．
14.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，M为直线AE与DC的交点，N为直线AF与BD的交点，若AD=3，AB=4，∠BAD=π3，且DE=12DO，CF=12CB，AM=λAB+μAD，则λ+μ= ，AM⋅AN= ．
15.对于任意x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记M(x)=minf(x),g(x)，设函数f(x)=ex−1+x−2，g(x)=−x2+(a−1)x−a.若对于任意x∈R，都有M(x)≤0，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c−a=1，b= 21，内角A，B，C成等差数列．
(1)求a的值及▵ABC的面积；
(2)求tan(2A+B)的值．
17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//CD，∠DAB=90°，E是AD的中点，AD=2 33CD= 3AB=2，PD=3．
(1)证明：CE⊥PB；
(2)求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值；
(3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
18.已知直线x=2经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为2 2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：x2+y2=b2相交于点M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q(异于点A).设直线MN，PQ的斜率分别为k1，k2，试探究当k2≠0时，k1k2是否为定值，并说明理由．
19.已知an是首项为1的等差数列，其前n项和为Sn，S7=70，bn为等比数列，b2=a6，b2+b3=80．
(1)求数列an和bn的通项公式：
(2)求i=12n(−1)iai2；
(3)记cn=b2n+1bn，若λ≥an−4cn2−c2n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．
20.已知函数f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y=−x+b，求a和b的值；
(2)当a≠0时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)当a=−94时，证明：对于任意的x1，x2∈(0,1)，有fx1+x2dn−1，即d1d5> ⋯，
所以，数列dn的最大项为d3=3128，
因为λ≥an−4cn2−c2n恒成立，所以，λ≥d3=3128，即实数λ的取值范围为3128,+∞．
20.【详解】(1)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，则f′(x)=2ax+32x−a−3．
曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为f(x)=−x+b，
则f′(1)=a−32=−1，解得a=12，
由f(1)=−a−94=−1+b，解得b=−74，
(2)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，其中(a≠0)，函数定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2ax+32x−a−3=(3x−2a)(x−2)2x，
令f′(x)=0，解得x=2或x=2a3，
若a