2023年北京大学高三数学竞赛强基计划测试数学试题含答案

这是一份2023年北京大学高三数学竞赛强基计划测试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了方程在上解得个数为______，数列满足，方程的实根个数为_____等内容，欢迎下载使用。

1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（ ）
A.只能是有理复数或半有理复数
B.只能是无理复数或伴有理复数
C.只能是半有理复数
D.以上都不对
2.方程在上解得个数为______.
3.数列满足：，则除以7的余数为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.以上都不对
4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______.
5．函数在上最大值是_______.
6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个.
7.方程的实根个数为_____.
8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域.
9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______.
10.表示正整数除以的余数之和，则满足的两位数的个数为______.
11.已知正整数数列严格递增，，且，则这样的数组的个数为______.
12.已知点，延长至使，那么点到距离最大值和最小值之积为______.
13.三个互不相等的正整数最大公约数为20，最小公倍数为20000，那么这样的不同的正整数组的个数为______.
14.由构成的集合元素的个数为______.
15.已知集合，甲虫第一天在原点,第天从第天位置出发沿向量移动，其中，用表示第天甲虫可能在多少个不同的位置上，则______.
16.方程解得个数为______.
17.已知均为正整数，且均为正整数，则的最大值和最小值之和为______.
18.已知，且是的一个排列，则
得到的不同数的个数为______.
19 .已知正整数且，则在取得最大值的情况下，的最大值为______.
20.由50个队伍进行排球单循环比赛，胜一局积1分，负一局积0分，且任取27支队伍能找到一个全部战胜其余26支队伍和一支全部负于其余26支队伍的，问这50支队伍总共最少有______种不同的积分.
2023年北京大学强基计划测试数学试题解析
1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（ ）
A.只能是有理复数或半有理复数
B.只能是无理复数或伴有理复数
C.只能是半有理复数
D.以上都不对
解：D
重心为有理复数的例子：
重心为无理复数的例子：
重心为半有理复数的例子：
2.方程在上解得个数为______.
解：0
设，则方程为，考虑方程实根，设其共轭虚根为，得，所以没有模长为1 的根。
3.数列满足：，则除以7的余数为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.以上都不对
解：B
设数列满足：,则，
进而
，
所以
4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______.
解：42
三个奇数：
两个奇数一个偶数，按照选择的偶数分类计算可得
答案为
5．函数在上最大值是_______.
解：
在上
等号当且仅当取得。
6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个.
解：
由，所以答案为
7.方程的实根个数为_____.
解：1
设，则
所以在上单调递增，其次数为5，只有一个实根.
8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域.
解：246
设分成区域的个数为，其相当于某个具有个面的多面体 的投在其中一个面所在面的投影，则
,
其中
所以.
9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______.
解：
设三角形的边为，内切圆半径为，则
则，所以.
10.表示正整数除以的余数之和，则满足的两位数的个数为______.
解：0
设除以这9个数的余数为易得
由题意上述9个差中正数与负数之和为0，必然有
若，则，不符合题意，所以，
只能.
所以且，但，不可能.
11.已知正整数数列严格递增，，且，则这样的数组的个数为______.
解：40425
构造函数