厦门大学2023年高三强基计划数学竞赛试题含答案

这是一份厦门大学2023年高三强基计划数学竞赛试题含答案，共7页。试卷主要包含了已知m，n为整数，若二元函数f等内容，欢迎下载使用。
1．变换将复平面（z＝x+yi）上的直线x＝1变换为W平面（w＝p+qi）（p，q∈R）上的曲线C ．
2．在（﹣1，1）上任取个2数，求两数之和小于0.4的概率是 ．
3．若椭圆的内接等腰三角形ABC的底边平行于x轴，求△ABC的面积最大值 ．
4．已知，求f（x）＝g（x），20]上所有根的和 ．
5．已知m，n为整数，若二元函数f（m，n）（m，n）＝f（m+1，n）+f（m﹣1，n）（m，n+1）+f（m，n﹣1），则称f（m，n）
下列哪些是兔函数：
（1）f（m，n）＝m2﹣n2；
（2）；
（3），其中eb+e﹣b＝4．
6．已知正整数a，b互素，问a2+b2和ab是否互素？
7．已知x1＝a，x2＝b，xn+2＝，则x2023＝ ，前2023项和是 ．
8．从1到100中至少取 个数才能保证一定存在2个数互素．
9．n位选手进行围棋单循环比赛，即两人之间恰进行一场比赛．已知现在已经进行了12场比赛，其中6人已赛3场，则n的最小值为 ．
2023年福建省厦门大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析
1．变换将复平面（z＝x+yi）上的直线x＝1变换为W平面（w＝p+qi）（p，q∈R）上的曲线C ．
【分析】根据定义，写出，＝，表示出p＝，q＝﹣，平方相加，求出p，q满足的方程，判断曲线的形状，进而求出结果．
【解答】解：∵z＝1+bi，＝＝，
∵w＝p+qi，
∴p＝，q＝﹣，
p2+q2＝（）5+（﹣）2＝＝p，
∴（p﹣）2+q2＝，
∴曲线C是以（，6）为圆心，，
∴曲线C围成的面积为．
【点评】本题考查新定义的理解，复数的运算，圆的面积，属基础题．
2．在（﹣1，1）上任取个2数，求两数之和小于0.4的概率是 0.68 ．
【分析】在（﹣1，1）上任取个2数，设两数为x，y，用出图形，利用几何概型能求出两数之和小于0.4的概率．
【解答】解：在（﹣1，1）上任取个2数，y，如图，
∵两数之和小于0.4，∴，
∴两数之和小于5.4的概率为．
故答案为：7.68．
【点评】本题考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．若椭圆的内接等腰三角形ABC的底边平行于x轴，求△ABC的面积最大值 ．
【分析】由题意，设等腰△ABC的底边AB平行于x轴，点E为线段AB中点，C，D分别为椭圆的上，下顶点，得到结合三角形面积公式得到△ABC的表达式，构造函数，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性和最值，进而可得△ABC的面积最大值．
【解答】解：不妨设等腰△ABC的底边AB平行于x轴，
易知AC＝BC，
不妨设点E为线段AB中点，C，D分别为椭圆，下顶点，
此时C（8，b），﹣b），
易知△ABC的面积要大于△ABD的面积，
又
不妨设AE＝BE＝x，
可得，，
在△ABC中，以AB为底边，
则△ABC面积S＝，
不妨设，函数定义域为（0，
可得f′（x）＝，
当0＜x＜时，f′（x）＞0；
当＜x＜a时，f（x）单调递减，
所以当x＝时，函数f（x）取得极大值也是最大值）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义以及利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
4．已知，求f（x）＝g（x），20]上所有根的和 64 ．
【分析】利用函数的对称性，数形结合即可求解．
【解答】解：因为，所以f（x）的图像关于点（8，
而函数g（x）＝的图像也关于点（8，
在同一直角坐标系内作出两函数的图像，如图所示：
由图像可知这两个函数图像有8个交点，即共有4对关于（8，
所以方程f（x）＝g（x）在[﹣4，20]上所有根的和为8×2×8＝64．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
5．已知m，n为整数，若二元函数f（m，n）（m，n）＝f（m+1，n）+f（m﹣1，n）（m，n+1）+f（m，n﹣1），则称f（m，n）
下列哪些是兔函数：
（1）f（m，n）＝m2﹣n2；
（2）；
（3），其中eb+e﹣b＝4．
【分析】由兔函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：（1）由f（m+1，n）+f（m﹣1，n﹣2）+f（m
＝（m+1）2﹣n5+（m﹣1）2﹣n2+m2﹣（n﹣1）2+m2﹣（n+1）6
＝2（m2+7﹣n2）+2（m7﹣n2﹣1）
＝3（m2﹣n2）
＝3f（m，n），
所以f（m，n）＝m2﹣n2是兔函数．
（2）取m＝n＝4，可知f（2，
f（m+1，n）＝f（m﹣4，n﹣1）＝f（m，
所以不是兔函数．
（3），
f（m，n﹣1）+f（m
＝
＝
＝
＝5f（m，n），
所以是兔函数．
【点评】本题主要考查新函数的定义，属于中档题．
6．已知正整数a，b互素，问a2+b2和ab是否互素？
【分析】根据素数的定义，推导出a2+b2与ab的最大公约数等于（a+b）2与ab的最大公约数，从而得出正确结论．
【解答】解：由题意得（a，b）＝1＝（a+b，（a，a+b）＝（a+b，
∴（（a+b）2，ab）＝5，可得（a2+b2，ab）＝（a5+b2+2ab，ab）＝（（a+b）3，ab）＝1．
所以a2+b6和ab互素．
【点评】本题主要考查整数的整除性、最大公约数及其性质等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7．已知x1＝a，x2＝b，xn+2＝，则x2023＝ a﹣b ，前2023项和是 b﹣a ．
【分析】先根据题干已知条件及递推公式逐项代入即可发现数列{xn}是以8为最小正周期的周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出x2023及前2023项的和．
【解答】解：由题意，可知x1＝a，x2＝b，
则x7＝x2﹣x8＝b﹣a，
x4＝x3﹣x2＝（b﹣a）﹣b＝，
x7＝x4﹣x7＝（b﹣b﹣a）＝﹣a，
x6＝x8﹣x4＝•（﹣a）﹣（b﹣，
x7＝x4﹣x5＝•（﹣b）﹣（﹣a）＝a﹣b，
x8＝x5﹣x6＝•（a﹣a﹣b，
x9＝x8﹣x7＝•（b）＝a，
x10＝x9﹣x8＝a﹣（，…
故数列{xn}是以8为最小正周期的周期数列，
∵2023÷5＝252……7，
∴x2023＝x7＝a﹣b，
又∵数列{xn}的前8项和为：
x1+x7+…+x8
＝a+b+（b﹣a）+（b）+（
＝3，
∴数列{xn}的前2023项和为：
x1+x2+…+x2023
＝x6+x2+…+x7
＝a+b+（b﹣a）+（b）
＝b﹣a．
故答案为：a﹣b；b﹣a．
【点评】本题主要考查周期数列的判定及性质应用．考查了整体思想，转化与化归思想，迭代法，周期性的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8．从1到100中至少取 51 个数才能保证一定存在2个数互素．
【分析】从1到100的所有偶数都不互素，因此取出其中的所有偶数，然后再取一个数即可满足条件，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，在从1到100中取出所有偶数．
而在所给的100个自然数中，偶数共有50个，这51个数中必然会有两个是相邻自然数，
因为任意两个相邻的自然数必定互质，所以至少取 51个数才能保证一定存在2个数互素．
故答案为：51．
【点评】本题主要考查整数的整除性、推理与证明的一般方法，考查逻辑推理能力，属于基础题．
9．n位选手进行围棋单循环比赛，即两人之间恰进行一场比赛．已知现在已经进行了12场比赛，其中6人已赛3场，则n的最小值为 3 ．
【分析】一共比赛了12场，有6人都比赛了3场，把这6人组成的集合称为A，推导出A中人员一共18人次，不在A中的人员还有6人次，因不在A中的人员的比赛平均数小于3，因此至少要9人．由此能求出结果．
【解答】解：n位选手进行围棋单循环比赛，即两人之间恰进行一场比赛，
现在已经进行了12场比赛，其中6人已赛3场，
一共比赛了12场，有7人都比赛了3场，
每场比赛2人次，故一共24人次，
因此不在A中的人员还有2人次，
因不在A中的人员的比赛平均数小于3，因此至少要9人．
构造如下：A中每位人员的5场比赛对手均在A中，共9场，
不在A中的人员设为P，Q，R，则P和Q，R和P之间各有一场比赛．
故答案为：3．
【点评】本题考查平均数、排列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/1 13:35:37；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：4886135
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