2025年吉林省长春市第八十七中学中考三模九年级下数学试题（含答案解析）

这是一份2025年吉林省长春市第八十七中学中考三模九年级下数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
2. 如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①，②，③，其中说法正确的是（ ）
3. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ）
4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
5. 如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m．
6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
7. 如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接
甲：能够比较与的大小
乙：能够比较与的长短
下列判断正确的是（ ）
8. 如图，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向左下方平移．得到线段，使点落在函数图象上，点落在轴负半轴上，且．则的值为（ ）
二、填空题
9. 将整式分解因式结果正确的是______．
10. 若a是方程的一个根，则的值为______．
11. 若是整数，则正整数n的最小值为__________．
12. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人、物各几何？意思是：有一些人合买一个物品，每个人出元，还余剩元，每个人出元，则还差元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？若设一共有人，可列方程为__________．
13. 如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______．
14. 如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④面积的最大值为⑤连接，当最小时，上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
17. 某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？
18. 如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形．
19. 如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线
(2)图②中，在上画点D，使
20. 某市为推进“绿色社区”建设，对全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核．根据要求，“雨水收集利用率”达到75%及以上即为合格．环保部门随机抽查了10个社区，其利用率数据如下（单位：%）：
68，77，72，85，80，65，78，88，70，82．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)计算这组数据的平均利用率为______；
(2)估计全市150个社区中，利用率合格的大约有多少个？
(3)若将这10个社区作为试点，对不合格的社区进行改造（合格的社区无需改造），改造后全部达标，且改造后数据的平均利用率提升至80%．那么，试点中改造社区的利用率平均至少提升了______个百分点．
21. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
【问题解决】
(1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来．
(2)根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
(3)已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：，
则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式）
根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？
22. 【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置．
【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程：
解：∵四边形是菱形，∴，
又∵，
是等边三角形，
∴，，
又∵，∴
∴______
∴点在外接圆的劣弧上运动．
请您补全证明过程．
【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______．
23. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结．
(1)过点Q作边的垂线段，交于H，求证：；
(2)当A，Q，C三点共线时，求线段的长；
(3)线段的长度的最小值是______；
(4)四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点且对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段（和位于点的同侧），以为边向右做正方形，
当时，连接、，试说明．
当时，若与抛物线图象交于点，连接；当平分时，求的值；
当时，连接，当两点中只有一个点在内部时，直接写出的取值范围．
2025年吉林省长春市第八十七中学中考三模数学试题
整体难度：适中
考试范围：数与式、图形的性质、图形的变化、函数、方程与不等式、统计与概率
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
A．
B．
C．
D．
A．①②
B．①③
C．②
D．①②③
A．五棱柱
B．五棱锥
C．六棱柱
D．六棱锥
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．甲、乙的说法都正确
B．甲、乙的说法都不正确
C．甲的说法正确，乙的说法不正确
D．甲的说法不正确，乙的说法正确
A．
B．
C．
D．
x（厘米）
4
12
20
24
28
36
y（斤）
0
1
2
2.5
3
4
证明过程缺失
题型
数量
单选题
8
填空题
6
解答题
10
难度
题数
容易
2
较易
10
适中
9
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
有理数四则混合运算
2
0.85
根据点在数轴的位置判断式子的正负；有理数加法运算；两个有理数的乘法运算
3
0.94
几何体展开图的认识
4
0.85
根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
5
0.85
其他问题（解直角三角形的应用）
6
0.85
函数图象识别；从函数的图象获取信息
7
0.85
折叠问题；角的度数大小比较；确定第三边的取值范围
8
0.85
求反比例函数解析式；已知图形的平移，求点的坐标
二、填空题
9
0.94
提公因式法分解因式
10
0.85
已知式子的值，求代数式的值；由一元二次方程的解求参数
11
0.85
求二次根式中的参数
12
0.85
古代问题(一元一次方程的应用)
13
0.65
正多边形的内角问题；平面镶嵌
14
0.65
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形；解直角三角形的相关计算
三、解答题
15
0.65
分式化简求值
16
0.65
根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
17
0.85
用一元一次不等式解决实际问题
18
0.65
利用平行四边形性质和判定证明；证明四边形是菱形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
19
0.65
证明某直线是圆的切线；相似三角形的判定与性质综合；全等三角形综合问题；圆周角定理
20
0.65
由样本所占百分比估计总体的数量；求一组数据的平均数
21
0.65
求一次函数解析式；其他问题(一次函数的实际应用)
22
0.4
相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算；等边三角形的判定和性质；已知圆内接四边形求角度
23
0.4
y=ax²+bx+c的最值；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形
24
0.4
面积问题(二次函数综合)；其他问题(二次函数综合)；y=ax²+bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,2,9,10,11,15
2
图形的性质
3,4,7,13,14,18,19,22,23
3
图形的变化
5,7,8,14,19,22,23
4
函数
6,8,21,23,24
5
方程与不等式
10,12,17
6
统计与概率
16,20