第四章 图形的相似 （复习课件）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

单元复习课件 第四章 图形的相似 北师大版·九年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.掌握本章中的知识，理解图形的相似与位似，能熟练运用有关相似的性质和判定解决具体问题。3.在应用图形的相似解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力。2.运用图形的相似解决实际应用问题，掌握三角形相似的性质与判定。一、线段的比和成比例线段的定义 如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ,n .那么两条线段的比 . 四条线段a , b , c , d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a , b , c , d叫做成比例线段，简称比例线段.比例的基本性质：比例的合比性质：比例的等比性质：比例的更比性质： 二、比例的性质那么称线段AB被点C点C叫做线段AB的AC与AB（或BC与AC）的比叫做黄金比≈0.618黄金分割黄金分割点黄金比三、黄金分割◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例四、相似三角形的判定◑对应角相等、对应边成比例◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方五、相似三角形的性质(1) 测高测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.(2) 测距六、相似三角形的应用例如用相似测物体的高度测山高测楼高(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 七、位似(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段平行或者在一条直线上.(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.(4) 平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点异侧时，对应顶点的坐标的比为－k.例1 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是(　　)A．3 cm, 6 cm, 7 cm ，9 cm　　　B．2 cm, 5 cm , 0.6 dm, 8 cmC．3 cm, 9 cm, 1.8 dm, 6 cm D．1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cmC题型一、成比例线段、比例性质和黄金分割解析：根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析．A. 故不是成比例线段； B．0.6 dm＝6 cm， 故不是成比例线段； C．1.8 dm＝18 cm，从小到大排序为3 cm，6 cm ，9 cm，18 cm， 故是成比例线段；D. 故不是成比例线段．【练习1】四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则 a=． 1题型一、成比例线段、比例性质和黄金分割【练习2】四个正数a、b、c、d能构成比例式，其中b=3,c=2,d=6，则a= . 4或9或1【练习3】若 则： 【练习4】若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长为 .题型二、平行线分线段成比例例2 如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求AC的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴又∵AD=3，DB=6，AE=2，∴解得EC=4．∴AC=AE+EC=6.【练习1】如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， ， DE=6，则EF= ． 【练习2】如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5cm，则线段BF的长为_________cm． 题型二、平行线分线段成比例910例3 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．题型三、相似三角形的判定与性质题型三、相似三角形的判定与性质（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．∴AM＝CM＝3，∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.在Rt△BDM中， .由（1）△ABD∽△CED得，M题型三、相似三角形的判定与性质【练习1】如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE. ABDE31解：∵ DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴S△ABC : S△ADE = ∵AD : BD = 1：3, ∴AD : AB = 1：4. ∴S△ADE=27.题型三、相似三角形的判定与性质【练习2】如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ BDEFGHMA解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm.∵ EF//BC，∴△AEF ∽ △ABC.又∵ AM＝AD－MD＝80－x，解得 x = 48.即这个正方形零件的边长是 48 mm.题型三、相似三角形的判定与性质【练习3】如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比. ABCDEF解：矩形ADFE与矩形ABCD 相似, 题型三、相似三角形的判定与性质【练习4】如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？ 由题意得解：设留下矩形的面积为 x cm2，解得 x =27 cm2.答：留下矩形的面积为 27 cm2.例4 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1 m）．题型四、相似三角形的实际应用解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2 m，DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．∵EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，∴∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，∴△BDG∽△FDH．∴题型四、相似三角形的实际应用题型四、相似三角形的实际应用【练习1】在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为_______m.9【解析】设A，B两地间的实际距离为x cm,则即x=900,又900 cm=9 m.【练习2】如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？解：∠ABO=∠CDO=90°∠AOB=∠COD∴△AOB∽△COD∴ CD=5.4m例5 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．ABC解：A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），4－ 4－ 108－410A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）.4－ 4－ 810－104A'B 'C 'A"B"C"题型五、位似图形题型五、位似图形【练习1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)C题型五、位似图形【练习2】如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是______________．(1，0)或(－5，－2)1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )ABCDB3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC是以点_____为位似中心的位似图形，其相似比为_________，面积比为________. C4 : 316 : 94. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6， 3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为________.(4，－3)5. 找出下列图形的位似中心.6．如图所示，当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC ∽△ACB．(1) ； (2) ；(3) .∠ACD =∠B∠ACB =∠ADC7. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为___________．36 和 398. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与△ABC 相似，则 AF =_________.2 或 4.59. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为________.　　　　　　1 : 910.如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．解：如图，CD＝3.6 m，由题可知∵△BDC∽△FGE，∴ BC＝6 m.在 Rt△ABC 中，∵ ∠A＝30°，∴ AB＝2BC＝12 m.即树长 AB 是 12 m.11.星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由．解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A. 若人眼到地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离他起跳点 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？解：∵∠ABO = ∠CDO = 90°，∠AOB = ∠COD，∴△AOB ∽ △COD.解得 CD = 5.4 m.故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方．12. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. ABCOA′B′C′(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，相似比为 2 : 3.解：如图所示.(2) 线段 AA′ 的长度是 .13. 如图，△ABC 在方格纸中.(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标；解：如图所示，B (2，1).xyO(2) 以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；A′B′C′解：如图所示. (3) 计算△A′B′C′的面积 S.图形的相似比例线段相似三角形相似多边形位似比例的基本性质比例线段平行线分线段成比例判定性质应用感谢聆听!