2025-2026学年四川省成都市青羊区石室联合中学九年级上学期9月月考数学试题

这是一份2025-2026学年四川省成都市青羊区石室联合中学九年级上学期9月月考数学试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，点E为边上一点，连结交对角线于点G．若，，则的长为（ ）

A．3B．4C．6D．5
5．已知，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，那么四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
6．若点，，在反比例函数的图象上，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ）

A．点O为的对称中心B．平分
C．D．四边形为菱形
8．在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知，那么的值是 ．
10．两个相似三角形的面积比是，较小三角形周长为，则较大三角形周长为 ．
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
12．如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为 ．
13．如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是9，则 ．
14．已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ．
15．若是方程的两个根，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ．
17．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ．
18．如图，在菱形中，，点E为边上一点．以点E为顶点在右侧作，射线交于点F，过点A作交射线于点H，连接在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形面积为 ．
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，．
(1)画出将绕点顺时针旋转得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标．
21．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度．
22．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F．
（1）求证：四边形OCEB是矩形；
（2）若BF=1，求菱形ABCD的周长．
23．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为；点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)点G是y轴上的动点，连接，求的最小值；
(3)点P是x轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是菱形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进，两款纪念品．第一次购进款纪念品100件，款纪念品80件，共6200元，第二次购进款纪念品150件，款纪念品40件，共6100元．
(1)求，两款纪念品的进价各是多少元？
(2)商场为了尽快将款纪念品销售完，决定对款纪念品进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降10元，每周就可以多卖100个，请问商场将每个款纪念品降价多少元时，每周销售款纪念品的利润为2340元？
25．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为．
①求点的坐标；
②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．【观察与猜想】
（1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______；
【类比探究】
（2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值．

《 四川省成都市石室联合中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）》参考答案
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解．
【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，
，
即，
解得：，
故选：C
3．A
【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数的定义：把形如的函数叫反比例函数，即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，故是反比例函数；
∵，
∴，故是反比例函数；
∵，
∴，故是反比例函数；
不是反比例函数；
∴是的反比例函数有，
故选：．
4．C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
5．B
【分析】根据中位线定义得出EF＝HG，EF∥HG，证明四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定法则即可判定
【详解】∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF＝ AC，EF∥AC，
同理，HG＝ AC，HG∥AC，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵F，G分别是边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，
∴∠FGH＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形，
故选B．
【点睛】此题考查三角形中位线的性质，矩形的判定，解题关键在于利用中位线的性质进行解答
6．C
【分析】根据可知：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系及点所在的象限可作判断得出答案．
【详解】解：对于反比例函数，
∵，
∴图象的两支分别位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵，在第三象限，，
∴，
又在第一象限，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解决本题的方法比较多，可以利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值然后进行比较，也可以根据三个点所在象限及横坐标大小比较三个点的纵坐标的大小．
7．B
【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A；根据菱形的判定定理可判断选项C；根据菱形的性质得到，可判断选项D；不一定平分，选项B不正确．
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，即点O为的对称中心，故选项A正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，∴，
∵是线段的垂直平分线，∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
不一定平分，故选项B不正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．B
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象与系数的关系：当k＞0时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；当k＜0时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限．再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：当k＞0时，
∵k＞0，−k＜0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
当k＜0时，
∵k＜0，−k＞0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分k＞0和k＜0两种情况，找出反比例函数图象与一次函数图象经过的象限是解题的关键．
9．
【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可．
【详解】解：设，
∴，，，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：设较大的三角形的周长为，
两个相似三角形的面积的比是，
这两个相似三角形的相似比为，
这两个三角形的周长比为，
较小的三角形的周长为，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据题意，得到，列出不等式进行求解即可，熟练掌握根的判别式与根的情况，进行判断即可．
【详解】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
12．
【分析】由直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，于是得到，即可求出结果．
本题考查平行线的性质，折叠问题，解题的关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键．连接，根据反比例函数系数k的几何意义得到，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴轴，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是9，
∴，
∴
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
15．7
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：7．
16．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
∵，
∴，
∵函数 与反比例函数交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，据此可得答案．
【详解】解：如图，连接，交于点Q，
∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，
∵，
∴，
在和中

∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H， 则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题．
18．15
【分析】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键；
作出辅助线，依题意当与重合，再根据，进而得到线段扫过的图形为，再利用勾股定理分别求出，根据全等得，再次运用勾股定理求出，据此可求出的面积即可得出答案．
【详解】解：连接交于点O，过点A作交于点P，作直线交于K，过点A作交于Q，如图所示：

设，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴
，
∴当点H与点P重合，
∴与重合，
∵，作
∴，
∴点H在直线CP上运动，当点E与点C重合时，点H与点Q重合，
∴与重合，
∴在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形为，
∵，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即直线，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
在和中，由勾股定理得：，
∴
解得：，
∴，
∴
∴，
∴
∴在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形的面积是
故答案为：
19．（1）；（2），．
【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂，实数的运算，解一元二次方程等．
（1）首先计算乘方、开方，并根据零指数幂定义、负整数指数幂化简，，然后从左向右依次计算即可；
（2）利用因式分解法即可解出本题答案．
【详解】解：（1）
；
（2）因式分解得，
∴或，
，．
20．(1)作图见详解
(2)作图见详解，
【分析】本题主要考查旋转的性质，坐标与图形，位数图形的作图及性质，掌握坐标与图形的特点，位数图形的性质是解题的关键．
（1）根据图形旋转的性质作图即可；
（2）根据位似比得到点的坐标，连接即可求解．
【详解】（1）解：作图如下，
∴即为所求图形；
（2）解：∵，在轴下方画出，使它与的相似比为，
∴，
作图如下，
∵，
∴，
∴即为所求图形．
21．树的高度为6米
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵米，米，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
答：树的高度为6米．
22．（1）证明见解析；（2）12
【分析】（1）根据菱形的性质求出∠BOC=90°，根据平行四边形和矩形的判定得出即可；
（2）首先证明△BEF∽△CAF得，求出CF的长，再求出BD的长，进而可求出菱形ABCD的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠BOC=90°，
∵CE∥BO，BE∥CO，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴
由（1）知，四边形OCEB是矩形，
∴BE=OC
∴BE=
∵BE//AC
∴∠BEA=∠CAE，∠EBC=∠BCA
∴△BEF∽△CAF
∴
∵BF=1，
∴CF=2
∴BC=BF+CF=3
∴ 菱形ABCD的周长为：3×4=12
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判断和性质、矩形的判断和性质以及相似三角形的判定与性质，证明△BEF∽△CAF是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式中求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再求出两函数的交点坐标即可得到答案；
（2）如图1，作轴于点E，轴于点F，则，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）由题易知，设参建立方程求解点P坐标，进而再利用对角线互相平分建立方程求出Q坐标即可．
本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，菱形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
【详解】（1）解：在直线上，
，
解得，
，
在反比例函数的图象上，
∴
，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，
，
，
，
，
，
，
，
在中，当时，，
；
作点B关于y轴的对称点，连接，则，，
，当且仅当、G、C三点共线时取等，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：由题可知当四边形是菱形，则BC是对角线，，
设，
，
，
，
，
解得，
，
∵菱形对角线中点坐标相同，
∴，
，解得，
24．(1)款纪念品的进价是30元，款纪念品的进价是40元
(2)21元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设款纪念品的进价为元，款纪念品的进价为元，根据两次购进纪念品的总进价列出二元一次方程组，再解方程组求出和的值即可解答；
（2）设商场将每个款纪念品降价元，则每周可以卖出款纪念品个，利用公式：销售利润单件纪念品利润销售量，列出方程求出的值，再结合题意即可解答．
【详解】（1）解：设款纪念品的进价为元，款纪念品的进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：款纪念品的进价是30元，款纪念品的进价是40元．
（2）解：设商场将每个款纪念品降价元，则每周可以卖出款纪念品个，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
为了尽快将款纪念品销售完，且，
，
答：商场将每个款纪念品降价21元时，每周销售款纪念品的利润为2340元．
25．(1)，
(2)①；②的坐标为或．
【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式；再联立可得的坐标；
（2）①先求解直线为，如图，过作轴交直线于，可得，可得，设，则，再进一步建立方程求解即可；②如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点，过作轴，作于，作于，由，可得，证明，再进一步求解即可；当与反比例函数相切时，如图，设直线为，结合直线与反比例函数只有1个交点，，求解直线为，过作轴于，过作于，，由为对应点，可得，过作轴，作于，作于，同理进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上．
∴，
∴反比例函数为，
∵正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
（2）解：①∵，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
如图，过作轴交直线于，
∴
，
∵的面积为，
∴，
∴，
设，则，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
∴；
②如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点，
过作轴，作于，作于，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
当与反比例函数相切时，如图，
∵直线过定点，
设直线为，
∵直线与反比例函数只有1个交点，
∴有两个相等的实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
∴直线为，
令，则，
∴，
过作轴于，过作于，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴为对应点，
∴为中点，
∵，，
∴，
同理：，
∴，，
过作轴，作于，作于，
同理可得：，，，
∴，
∴，，
∴；
综上：的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
26．（1）；（2）当时，成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，根据相似比即可求解；
（2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即；
（3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，，
，
故答案为：；
（2）当时，成立，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
在上取一点P使得，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
A
C
B
C
B
B