湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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命题人：时舜
一、单选题
1. 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出 和 ，再由向量共线的坐标表示列方程求解.
【详解】由 ， ，得 ， ，
若 ，则 ，解得 .
故选：B.
2. 若复数 满足 ，则 的实部为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】先用除法运算得出复数 ，写出它的共轭复数 即可找出 的实部.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的实部为 2，
故选：C.
3. 若圆锥的底面圆半径为 ，其侧面展开图的面积为 ，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆锥的侧面积公式求圆锥的母线长，再求圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解.
【详解】设圆锥的母线长为 ，
则有 ，所以 ，
于是圆锥的高为 ，
该圆锥的体积为： .
故选：D
4. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断线性、线面的位置关系即可.
【详解】A：若 ， ，则 平行、相交或异面，故 A 错；
B：若 ， ，则 平行或异面，故 B 错；
C：若 ， ，则 或 ，故 C 错；
D：若 ， ，由面面平行的定义和线面平行的定义可知 ，故 D 对.
故选：D
5. 一组不全相等的数据 ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ）
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误.
【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A
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错误；
B，中位数不一定改变，如原数据为 1，2，2，3，中位数为 2，去掉 3 后，数据为 1，2，2，中位数还是 2，
B 错误；
C，设原平均数为 ，
假设去掉最大值 后平均数不变，则 ，
所以 ，解得 ，
由原数据不全相等，可得 ，矛盾，
所以平均数一定改变，C 正确；
D，众数不一定改变，如数据为 2，2，3，4，众数为 2，去掉 4 后，众数仍为 2，D 错误．
故选：C
6. 如图，在等腰 中， ，点 是边 上的动点，则 （ ）
A. 为定值 16 B. 为定值 32
C. 最大值为 32 D. 与 的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】取 的中点为 ，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可.
【详解】如图，取 的中点为 ，连接 ，
因为 为等腰三角形，所以 ，又 ，
所以 .
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所以 .
所以 为定值 32.
故选： .
7. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 ，
，O 为 的外心，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可.
【详解】∵ ，由正弦定理，
得 ，
即 ，
而 ，所以 ，
∵ ，
由正弦定理，得 ，
∴ ，而 ，
∴ ，∴ ，
因为 ，所以 ，∴ ．
设 的外接圆半径为 ，则 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
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故选：C
8. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，该电子元件能正常工作为事件 ，
根据相互独立事件的概率公式求出 、 ，即可求出 、 ，再根据对立事件及独立事
件的概率公式计算可得.
【详解】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，
该电子元件能正常工作为事件 ，
则 ， ，
，所以 ，
所以 ，
即该电子元件能正常工作的概率是 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出
.
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
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A. 随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；
B. 连续 10 次掷一枚骰子，结果都是出现 1 点，可以认为这枚骰子质地不均匀；
C. 某种福利彩票的中奖概率为 ，那么买 1000 张这种彩票一定能中奖；
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为 70%”，指的是：该市气象台专家中，有 70%认为明天会降水，
30%认为不降水．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项．
【详解】对于 A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故 A 正确；
对于 B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现 1 点可以认定这枚骰子质地不均匀，
故 B 正确．
对于 C，中奖概率为 是指买一次彩票，可能中奖的概率为 ，不是指 1000 张这种彩票一定能中奖，
故 C 错误．
对于 D，“明天本市降水概率为 70%”，指下雨的可能性为 0.7，故 D 错误．
故选：AB．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 6 的样本，则个体 被抽到的概率是
B. 从装有 个红球， 个白球的袋中任意摸出 个球，事件 “至少有 个红球”，事件 “都是白球”，
则事件 与事件 是对立事件
C. 数据 的第 70 百分位数是 23.5
D. 若样本数据 的标准差为 1，则数据 的标准差为 9
【答案】AC
【解析】
【分析】A，用简单随机抽样的方法求解；B，根据对立事件的概念进行判断；C，先对数据从小到大排序，
再根据百分位数定义计算即可；D，先得到 ， ， ， 的方差，再通过计算
的方差，进而得到其标准差，即可得答案．
【详解】对于 A．用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 6 的样本，
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则个体 被抽到的概率为 ，正确；
对于 B．从装有 个红球， 个白球的袋中任意摸出 个球，有 3 个都是红球，1 个红球 2 个白球，
2 个红球 1 个白球，3 个都是白球，共 4 种情况，
显然事件 “至少有 个红球”，事件 “都是白球”，为互斥事件而非对立事件，错误；
对于 C．从小到大排列为 12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于 ，故选择第 7 和第 8 个数的平均数作为第 70 百分位数，
即 ，所以第 70 百分位数是 23.5，C 正确；
对于 D．若样本数据 ， ， ， 的标准差为 1，则 ， ， ， 的方差为 1，
设 ， ， ， 的平均数为 ，则 ，
，
又 ，
故 ，
则 的标准差为 ，D 错误．
故选：AC．
11. 如图，棱长为 2 的正方体 中，E 为棱 的中点，F 为正方形 ，内一个动
点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点 F 轨迹的长度为
B. 直线 与 不可能垂直
C. 当三棱锥 的体积最小时，直线 与 所成角的余弦值为
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D. 当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A 由 平面 ，联想到存在一个过 的平面与平面 平行，利用正方体特征找
到平面 平面 ,进而得到 的轨迹为线段 ，对 B，举反例即可根据棱锥体积公式分析即可，
对 C，由 最小时，体积最小，得到 为异面直线所成角，即可求解；对 D，利用勾股定理求
出外接球半径即可.
【详解】对 A，如图，令 中点为 , 中点为 ,连接 ，
又正方体 中， 为棱 的中点，可得 , ，
平面 , 平面 ,又 ，
且 平面 ， 平面 平面 ,
又 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
又 为正方形 内一个动点（包括边界），
平面 平面 ，而 平面 平面 ，
，即 的轨迹为线段 .
由棱长为 2 的正方体得线段 的长度为 ，故选项 A 正确；
对 B，由 可知三角形 为等腰三角形，
当 为线段 中点时，由 可得 ,又 中点为 , 中点为 ,
，而 ， ,故选项 B 不正确；
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对 C，由侧棱 底面 ，所以三棱锥 体积为 ，
所以 最小时，体积最小，∵ ，可得 在 处时 最小，
由 知此时 与 所成角为 ，等腰三角形 中，
，故选项 C 正确；
对 D，同理可得当 在 处时，三棱锥 的体积最大，
由已知得此时 ，所以 在底面 的射影为底面外心， ，
， ，
由勾股定理易知底面 为直角三角形，所以 在底面 的射影为 中点，设为 ，
如图，设外接球半径为 ，由 ， ，可得外接球半径
，
外接球的表面积为 ，故选项 D 正确．
故选：ACD
三、填空题
12. 已知 ， ， ，若 三个向量不能作为空间向量的一组基，
则实数 等于________．
【答案】4
【解析】
【分析】因为 三个向量不能作为空间向量的一组基，所以 共面，由向量共面的条件求解即可.
【详解】因为 三个向量不能作为空间向量的一组基，
所以 共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基），
则存在 ，使得 ，即 ，
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所以 ,解得 .
故答案为：4
13. 已知三棱锥 ，如图所示， 为 重心，点 ， 为 ， 中点，点 ， 分别
在 ， 上， ， ，若 四点共面，则 _________
．
【答案】4
【解析】
【分析】先得到 ，进一步有 ，结合四点
共面的充要条件即可求解.
【详解】如图所示：
设 中点为 ，连接 ，因为点 G 为 重心，
所以点 在线段 上面，
因为
，
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所以 ，
所以 ，
若 M，D，E，F 四点共面，则 ，解得 ，
故答案为：4.
14. 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，记 为事件 A，B 的对立事件，且
，则 =__________
【答案】0.3##
【解析】
【 分 析 】 先 求 出 ， 根 据 得 到 ， 结 合
， 求 出 ， 从 而 得 到
.
【详解】由题意得 ， 互斥事件，
即 ，
，
又 ①， ②，
式子①②相加得 ，
故 ，
所以 ，则 .
故答案为：0.3
【点睛】若事件 A，B 互斥，则有 ，
若事件 A，B 不互斥，则有 .
四、解答题
15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指
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数 衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的 BMI 数值标准是： 为偏瘦；
为正常； 为偏胖； 为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，
随机抽取了 100 名居民体检数据，将其 BMI 值分成以下五组： ， ， ， ，
，得到相应的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该社区居民 BMI 值的样本数据的 分位数；
（2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从 ， 这两组中抽取 6 名居民，再从这 6 人中随机
抽取 2 人，求抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组的概率.
【答案】（1） ， 分位数为 26.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1 得到方程，求出 ，利用百分位数的求解方法得到 分位数；
（2）求出两组人数比值为 ，则在 ， 中分别抽取 2 人，4 人，利用列举法求解古典概型
的概率.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图得 ，解得 .
因为前三组的频率之和为 ，
前四组的频率之和为 ，
所以样本数据的 分位数在 内，设为 x，
则 ，解得 ，
故估计该社区居民身体质量指数 BMI 值的样本数据的 分位数为 26.5.
【小问 2 详解】
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由频率分布直方图可知 BMI 值在 内的频数为 ，
在 内的频数为 ，所以两组人数比值为 ，
按照分层随机抽样的方法抽取 6 人，则在 ， 中分别抽取 2 人，4 人，
记 这组 2 人的编号分别为 ， ， 这组 4 人的编号分别为 ， ， ， ，
从这 6 人中随机抽取 2 人，
故 样 本 空 间
，
共 15 个样本点，
设事件 “抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组”，
则 ，共 8 个样本点，
故 ，即从这 6 个人中随机抽取 2 人，抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组的概率为 .
16. 已知在锐角 中， ， 为 边上一点，且 平分 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得 ，结合已知锐角三角
形、正弦边角关系有 ，最后根据角平分线的性质即可得；
（2）由已知及余弦定理得 ，再由 及数量积的运算律求 的模长，即可得.
【小问 1 详解】
由 ，
所以 ，
则 ，在锐角三角形中 ，则 ，
由正弦定理知 ，又 平分 ，
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根据角平分线的性质知 ；
【小问 2 详解】
由 ，且 ，则 ，可得 ，
由 ，
所以
，
所以 ，而 ，故 .
17. 如图，在正三棱柱 中， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）求点 到平面 距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；（2
）通过等体积法求距离
【小问 1 详解】
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证明：连接 并与 交于点 ，连接 .
在正三棱柱 中，四边形 为矩形，
则 是 的中点.
因为 是 的中点，所以 .
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
因为三棱柱 为正三棱柱，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
因为 是 的中点，所以 .
因为 ，所以 平面 .
由 ，可得 .
连接 ，则 .
设点 到平面 的距离为 ，
则 .
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由 ，得 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为 .
18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的 DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公
司拟开展的 DeepSeek 培训，培训前需要面试，面试时共有 3 道题目，答对 2 道题则通过面试（前 2 道题都
答对或都答错，第 3 道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为 ，小华答对每道题目的概率
依次为 ，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答 2 道题就结束面试”为事件
，记“小华 3 道题都回答且通过面试”为事件 ．
（1）求事件 发生的概率 ；
（2）求事件 和事件 同时发生的概率 ；
（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若事件 发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得
的值；
（2）若事件 发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出 的值，分析可知，事件
、 相互独立，由独立事件的概率公式可求得 的值；
（3）记小明没有通过面试为事件 ，小华通过面试的事件记为 ，求出这两个事件的概率，记小明、小华
两人恰有一人通过面试的事件记为 ，则 ，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得
的值.
【小问 1 详解】
若事件 发生，则小明前两题都答对或都答错，
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所以 ．
【小问 2 详解】
若事件 发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，
根据题意则小华 3 道题都回答且通过面试的概率为 ，
由题意可知，事件 相互独立，
则 ．
【小问 3 详解】
记小明没有通过面试为事件 ，
即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
则小明没有通过面试的概率为 ，
可得小明通过面试的概率为 ．
记小华通过面试的事件为 ，由（2）得 ，
由题意可知，事件 相互独立，
记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为 ，
则 ．
19. 如图， 是矩形 的对角线，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置.
（1）若 ，证明：平面 平面 .
（2）若 ，二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可证 平面 ，进而证明 平面 即可.
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（2）过点 作 ， ，作 ，证明 点 到平面 距离，是并由二面角
求出 ，建立空间直角坐标系 ，则点 坐标确定，利用线面角公式计算即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
所以 就是二面角 的平面角.
因为 ，所以 ，
作 ，垂足为 ，则 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ABCD，
所以 .
过 作 垂足为 ，
因 ，所以 ，
所以 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，
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则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 是平面 的一个法向量.
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
即直线 与平面 所成角的正弦值是 .
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