河南省信阳市2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省信阳市2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由量角器可知，，
，
即所量内角的度数为，
故选：C．
2. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设点表示的数为，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C．
3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】∵，，，
∴点在第二象限；
故选：B．
4. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故选：D．
5. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】得，则，
∴，
∴，
故选：B．
6. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A. 随机抽取城区三分之一的学校B. 随机抽取乡村三分之一的学校
C. 调查全体学校D. 随机抽取三分之一的学校
【答案】D
【解析】A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意；
D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形，
∴；
由于和是等边三角形，设的边长为m，
可得，
∴；
丙路程中，延长与，交于点I（如图），
∵，两边同加得，
，
∴，又，
∴，又，
因此，，只有D选项正确．
故选：D．
8. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：C.
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 若点关于轴的对称点在第二象限，则
B. 夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C. 4的平方根是2
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确．
选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误．
选项的平方根是，并非只有2，该选项错误．
选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误．
故选：A．
10. 某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（ ）
A. 位置是B种瓷砖B. 位置是B种瓷砖
C. 位置是A种瓷砖D. 位置是B种瓷砖
【答案】B
【解析】A种瓷砖的位置：，
，
B种瓷砖的位置：，
，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；
∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；
故选：B.
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，的度数为____________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
12. 如图，，，，则_________．
【答案】
【解析】如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）．
【答案】（或或，写出一种即可）
【解析】设截成长的钢管根，长的钢管根．
∵钢管总长，
∴，即．
又∵、为正整数，
当时，，
总根数为；
当时，，
总根数为；
当时，，
总根数为．
故答案：（或或，写出一种即可）．
14. 如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______．
【答案】
【解析】∵的面积为8，的面积为5，
∴的面积为，
由折叠可得：的面积为，
∴的面积为，
∴，
故答案为：.
15. 如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式：.
解：（1）
；
（2），
去分母得到，，
去括号得到，，
移项合并同类项得到，，
系数化为1得，.
17. 某校举行科技节．科技小组为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动．
【收集数据】科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）
【整理和表示数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表；
第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成4组：①，②60，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图.
学生使用智能软件主要目的的人数统计表
学生每周使用智能软件时间的频数直方图
（1）若将“问题1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为__________；
（2）补全频数分布直方图；
【分析数据，解答问题】
（3）全校共有1200名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数．
解：（1）由题意得，目的“B”对应的扇形圆心角的度数为：
，
故答案为：；
（2）由（1）知总人数为（人），
∴每周使用智能软件的时间在这一组的人数为：，
∴补全频数分布直方图为：
（3）（人），
答：估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为人．
18. 如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）如果将向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，则的坐标为 ，的坐标为 ，请画出图形；
（2）求线段扫过的面积．
解：（1）的顶点分别是，，
将向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，
∴点的坐标为；点的坐标为，
如图所示，即为所求.
（2）如图，
解：线段扫过面积是：．
19. 如图，D，E分别在的边上，F在线段CD上，且，．
（1）求证：；
（2）若DE平分，求的度数．
（1）证明：∵∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠DFE，
∴ABEF，
∴∠3=∠ADE，
∵DEBC，
∴∠ADE=∠B，
∴∠3=∠B．
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DEBC，∴∠ADE=∠B，∴∠EDC=∠B，
∵∠2=3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，
∴5∠B=180°，∴∠B=36°，
又∵∠3=∠B，
∴∠1=∠3+∠EDC=36°+36°=72°．
20. 如（图1）是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，（图2）是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数．
解：如图，过点E作交于点F，过点D作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
21. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．
材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，
由题意得，，解得，
答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；
任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或或，
∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，
∴最低购买费用为元，
答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元．
22. 定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
解：理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为，
∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，
∴三位数不是“极差数”，
故答案为：不是.
建模推理：
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，
根据题意可得，，
故答案为：；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除．
证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∵，
∴，
∴能被11整除，
∴任意一个“极差数”都能被11整除．
23. 综合与探究
提出问题：
小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系．
解决问题：
（1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系．
①若，则________；若，则________；
②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由；
应用拓展：
（2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数；
深入探究：
（3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系．
解：（1）①∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
若，则；
若，则；
故答案为：，；
②由①得；故答案为：；
（2）的平分线及一个外角的平分线相交于点，
，．
，
．
，
．
，
．
．
；
（3），理由如下：
同（1）可得，
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∴．调查问卷
问题1：你使用智能软件的主要目的是（ ）（单选）
A.学习管理 B.健康管理 C.时间管理 D.其他
问题2：你每周使用智能软件的时间是_________分钟．
目的
人数累计
人数
A
正正正正正正
30
B
正正
12
C
正正正
15
D
3