2024—2025学年度陕西省西安市临潼区高二上学期11月（期中）数学试题[含解析]

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一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．若两条直线与相互垂直，则（ ）
A．B．
C．或D．或
4．已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
5．圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A．B．C．D．2
6．如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线. （ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
10．已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
11．设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．4
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ．
13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
14．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知点，圆.
(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程：
(2)若直线与圆相交于两点，弦的长为2，求的值.
16．如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
17．已知椭圆：的离心率为，左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值.
18．已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
19．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
答案
1．【正确答案】D
首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率，
设其倾斜角为，
则tan，
∴.
故选：D.
2．【正确答案】D
【详解】由双曲线，可得，则，
且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：D.
3．【正确答案】C
【分析】
根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.
【详解】
因为，则，解得或.
故选：C.
4．【正确答案】A
【分析】求出双曲线的标准方程后可求基本量，从而可求渐近线方程，利用公式可求焦点到渐近线的距离.
【详解】由已知得，双曲线的标准方程为，则，，
设一个焦点，而一条渐近线的方程为，
即，所以焦点到渐近线的距离为，
故选：A．
5．【正确答案】A
【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
6．【正确答案】A
【详解】结合图形，易得
又因为点M，N分别为，的中点，
故，，，
所以.
故选：A.
7．【正确答案】B
【详解】

以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值等于
.
故选：B
8．【正确答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
9．【正确答案】ACD
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆；时表示圆；时表示双曲线；时表示两条直线.
【详解】
对于A，
∵若，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴曲线表示焦点在轴上的椭圆，
故A正确，
对于B，
∵若，
∴，
∴，
∴曲线：表示圆心在原点，半径为的圆，
故B不正确，
对于C，
∵若，
∴
∴，此时曲线C表示双曲线，
∵令，
∴，
故C正确，
对于D，
∵若，
∴由，得，
∴，此时曲线表示平行于轴的两条直线，
故D正确，
故选：ACD.
10．【正确答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接，，可知，
，，由勾股定理可得，CD正确.
故选ACD.
【方法总结】若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
11．【正确答案】BD
【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，
则有，解出其范围结合选项即得.
【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即，
∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.
故选BD.
12．【正确答案】或.
【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得，
即；
当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得，
即，化简得.
综上可知，满足条件的直线方程为或.
故或.
【易错警示】注意不要忽略直线过原点的情况.
13．【正确答案】3
【详解】

如图，由可知，
设，由定义
，
的面积为.
故3
14．【正确答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
15．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由于，即在圆上，而圆心，则，
所以过点的切线斜率为，
故直线的方程为.
（2）由，圆心，半径为，
则到的距离，又弦的长为2，
所以，可得.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 与交于点O，连接OE，
由分别为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）由，底面，故底面，
建立如图所示空间直角坐标系：则，
所以，
设平面的一个法向量为：，
则，即，
令，则，则，
因为底面，所以为平面一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．【正确答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用椭圆的离心率，焦点坐标，求解，，得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解中点坐标，结合圆的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，解得，
∴椭圆的标准方程为；
（2）设点、的坐标分别为，，线段的中点为，
联立，消得，
由韦达定理得：，
∴，，
∵点在圆上，∴，
∴，满足，∴.
18．【正确答案】(1){k|k，且k≠±1}
(2)或0
【详解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，
当时，直线l与双曲线由两个不同的交点，
即，所以k的取值范围为{x|k，且k≠±1}；
（2）由（1）可知x1+x2，x1x2，
所以弦长|AB|，
原点O到直线AB的距离d，所以S△AOB|AB|d，
由题意，解得：k＝±或0，符合题意，所以实数k的值为或0．
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．