2024—2025学年度河南省周口市鹿邑县高二上学期10月月考数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度河南省周口市鹿邑县高二上学期10月月考数学试题[含解析]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知直线与平行，且过点，则（ ）
A．B．3C．D．2
4．如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率
B．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
C．不能表示过点且斜率为的直线方程
D．设，若直线与线段有交点，则的取值范围是
11．如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹长度为
B．点到平面的距离是定值
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 .
13．已知向量，若共面，则 .
14．如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的顶点坐标为.
(1)若点是边上的中点，求直线的方程；
(2)求边上的高所在的直线方程.
16．如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值.
17．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
(1)求证：四边形为正方形；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为.
(1)当时，求直线的方程；
(2)针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数.
19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角的正弦值为.
①求的长；
②求平面与平面的夹角的余弦值.
答案
1．【正确答案】A
【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由直线，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.
故选A.
2．【正确答案】B
【分析】根据得到，根据数量积为求解.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故选B.
3．【正确答案】D
【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，
又直线过，则，解得，
经验证与不重合，所以.
故选D.
4．【正确答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得.
【详解】
如图，连接并延长交于点，连接.
因为为的重心，
故，
又点是线段上的一点，且，
故
.
故选A.
5．【正确答案】C
【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可.
【详解】点关于对称的点设为，
则，反射光线经过点，
则反射光线所在的直线方程为，即.
故选C.
6．【正确答案】C
【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】取的中点，
则，
以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离为.
故选C.
7．【正确答案】D
【详解】由题意知，点满足关系式，且，
可得点在线段上移动，且，，如图所示，
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是.
故选：D.
8．【正确答案】B
【详解】如图所示，延长至点，使得，
所以，
又由，所以四点共面，
所以的最小值，即为点到平面的距离，
因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
又因为，所以三棱锥为正三棱锥，
取等边的中心为，连接，可得平面，
所以即为点到平面的距离，
在等边，因为，可得，
在直角中，可得，
即点到平面的距离为，所以的最小值为.
故选：B.
9．【正确答案】ABD
【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.
【详解】对于A，，
，故A正确；
对于B，，设，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选ABD.
10．【正确答案】AC
【分析】利用直线倾斜角、斜率及斜率坐标运算逐项分析判断即得.
【详解】对于A，任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率，A正确；
对于B，若直线的斜率为，此时的倾斜角为，B错误；
对于C，由，得不能表示经过点的方程，C正确；
对于D，直线过定点，直线的斜率，直线的斜率，
依题意，或，解得或，D错误.
故选AC.

11．【正确答案】BCD
【详解】对于A，因为，即，所以，
即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，
所以点的轨迹长度为，故A错误；
对于B，在正方体中，，
又平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段，
又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；
对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，
因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，
所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，
又，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；
对于D，到直线的距离为，
当点落在上时，，故D正确.故选：BCD.
12．【正确答案】或
【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得.
【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，
① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，
故直线方程为，即；
② 若，则直线方程为，代入可得，
解得，故直线方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故或.
13．【正确答案】5
【分析】根据共面向量基本定理，即可列式求解.
【详解】因为共面，所以存在实数，使得，即，
即，解得：，，.
故5.
14．【正确答案】
【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，且，
因为为的中点，
故，于是，
平面的一个法向量为，
，
设，则，，
故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
故．
15．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后由点斜式方程求出即可；
（2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可；
【详解】（1）因为点是边上的中点，则，
所以，
所以直线的方程为，
即；
（2）因为，
所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
【关键点拨】求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程.
16．【正确答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先证，再由线线平行正线面平行即可；
（2）由题意建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）因为是直三棱柱，则，
又因为点分别为棱的中点，所以，
则四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，故平面；
（2）
如图，因为直三棱柱中，故可以为原点，以
所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，于是，
设直线与直线的夹角为，则，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；
（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，所以，
故可取，
设直线与平面所成角的大小为，
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求得的面积为，结合，得到，分类讨论，即可求解；
（2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合的取值和一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，且，
则直线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以的面积为；
因为，可得，
①当时，方程化为，解得或1，
此时直线的方程为：或；
②当时，方程化为，此时，方程无解（舍去），
综上可得，当时，直线的方程为或.
（2）由，可得方程，
①若时，方程化为，此时，
可得，方程有两正解，即有两条直线；
②若时，方程化为，
当时，，方程无实数根，此时无直线；
当时，，方程有一负根，此时有一条直线；
当时，，方程有两负根，即有两条直线；
综上知，当时有两条直线；当时有三条直线；当时有四条直线；
所以，当时，集中的元素有2个；当时，集合中的元素有3个；当时，集合中的元素有4个.
19．【正确答案】(1)答案见解析
(2)① 2；②
【详解】（1）在矩形中，，且是的中点，
，故，
又，则，即，
如图，记，连接，
因是矩形，故是的中点，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，故平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面；
（2）
①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，
过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.
设，所以
故，
设平面的法向量为n=x,y,z，又，
所以由，故可取，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，
解得，所以；
②如图，因为，
设平面的一个法向量为，又，
所以，故可取，
设平面的一个法向量为，又，
所以，故可取，
设平面与平面的夹角为，
所以.
即平面与平面的夹角的余弦值为.