2024^2025学年河南省南阳市高二上学期9月月考数学试卷（2套）附解析

这是一份2024^2025学年河南省南阳市高二上学期9月月考数学试卷（2套）附解析，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．圆的圆心与半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．两平行直线和之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
3．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
4．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或B．或1C．或2D．
6．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，则下列向量中与共面的向量是（ ）
A．B．C．D．
10．已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ）
A．B．三棱锥的外接球的半径为
C．当异面直线和所成的角为时，D．点F到平面与到平面的距离相等
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
13．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ．
14．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知三个顶点的坐标分别是.
(1)求的面积
(2)求外接圆的方程
16．在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
17．如图，在长方体中，，，.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
19．如图，在四棱锥中，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】圆心为，即，
半径为.
故选：C
2．【答案】A
【详解】平行直线和之间的距离.
故选：A
3．【答案】A
【详解】设设点D的坐标为，
由题意得
，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，解得，
故选：A
4．【答案】C
【详解】由，解得，即所求方程的直线过点，
令直线的倾斜角为，则，显然是锐角，
因此所求方程的直线斜率，
所以所求的直线方程为，即.
故选：C
5．【答案】B
【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，化简得，解得或1．
故选B.
6．【答案】D
【详解】由，解得，则直线与直线交于点，
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
依题意，，整理得，解得，即点，
直线的方程为，即，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故选：D
7．【答案】A
【详解】，，
.
故选：A.
8．【答案】D
【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.
【详解】
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则有,
依题意，，
,
于是，.
又因为平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因为平面，故，即.
则
，
因为，故当时，.
故选D.
9．【答案】AC
【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确；
对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误；
对于C，设，则得，解得，即，故C正确；
对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误.
故选：AC.
10．【答案】CD
【详解】令Ax1,y1、Bx2,y2分别在直线：与：上，
设AB的中点M的坐标为，则有：
，两式相加得：，
所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能.
故选：CD
11．【答案】ACD
【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B.
【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，
由，得，则，
对于A，，，
则，于是，A正确；
对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为，
则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上，
因此，三棱锥的外接球，B错误；
对于C，，由异面直线和所成的角为，
得，整理得，
而，解得，C正确；
对于D，，
设平面与平面的法向量分别为，
，令，得，
，令，得，
而，则点F到平面的距离，
点F到平面的距离，显然，D正确.
故选：ACD
12．【答案】或.
【解析】分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.
【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得.
当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得.
故答案为：或.
13．【答案】
【详解】如图所示：
由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为，
由直线与线段相交，可得的范围是；
由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角
故答案为：；.
14．【答案】/
【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点，
得，且，则，
，
，而，
所以
.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即.
，，
.
（2）由，外接圆是以线段AB为直径的圆，
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
16．【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，
而边中线所在的直线方程为，
由，解得，则，设点，则点，
于是，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，，，
由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或，
当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，
当直线时，直线的斜率为，方程为，即，
所以直线l的方程为或.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，

有，，，，，，，
则，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，由，，
有，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)12
(2)
【详解】（1）由整理得，，
令，解得，即直线经过定点.
不妨设直线的方程为，则有（*）
由（*）和基本不等式可得，，解得，
当且仅当时，即时，等号成立，
故当时，的最小值为12；
（2）因，由（1）得，，
则，当且仅当时，等号成立，
故当时，取得最小值.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，连接，两线交于点，因则，，
在中，设，由余弦定理，，解得，则,
由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点），
连接，则点是的中点，因为的中点，故有,
又平面，平面，故得，平面①
因且，易知为菱形，故得，
又平面，平面，故得，平面②
由① ，② ，因平面，故平面平面，
因平面，则平面.
（2）
如图，分别以，过点竖直向上的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设与轴成角，因，则且,
又，故即二面角的平面角，则，
于是，又.
则，
设平面的一个法向量为，则，可取；
又,
设平面的一个法向量为，则，可取.
设平面与平面的夹角为，则，
设，因，则，，
设，则，，
记，因函数在上单调递增，故，
则，故，
即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.
2024-2025学年河南省南阳市高二上学期9月月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．3
3．已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个法向量为
C．若直线，则
D．点到直线的距离是2
10．已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1
C．若圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
11．已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为
C．面积的最大值为
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
13．已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为 ，此时直线的一般式方程为 .
14．椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；
（2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.
16．已知直线，点和点分别是直线上一动点.
(1)若直线经过原点，且，求直线的方程；
(2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离.
17．已知圆过三点.
(1)求圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.
18．已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为.
(1)求的取值范围；
(2)是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由.
19．已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是
(1)求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
(2)记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
参考答案
1．【答案】D
【详解】直线的方程可化为，可知倾斜角，且满足，
因此.
故选:D.
2．【答案】A
【详解】因为和互相平行，
所以，解得，
所以直线可以转化为，
由两条平行直线间的距离公式可得.
故选：A
3．【答案】C
【详解】设圆心的坐标为.
因为圆心在直线上，所以①，
因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，
由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
故选:C.
4．【答案】D
【详解】由椭圆定义可得，
又因为，所以由勾股定理可得，
即，解得，
则的面积为.
故选：D.
5．【答案】B
【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为，
由题意得，，
过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，则，得，
所以过点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即.
故选：B.
6．【答案】B
【详解】设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合.
由此得，将上式两边平方并化简，得，
即.
所以动点的轨迹方程为.
故选：B.
7．【答案】C
【详解】解法一：设与直线平行的直线为，
联立整理得，
令，解得或，所以与距离，
当时，最小，即点到直线的最小距离是.
解法二：设椭圆上点，则点到直线距离
，
其中，当时，，
故选:C.
8．【答案】C
【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中，
故，
又因为，设点，则，
所以，
当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以，
故当时，取得最小值，最小值为51，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：C.

9．【答案】ACD
【详解】对于A，因为直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故A正确；
对于B， 直线的一个方向向量为，由，所以不是直线的一个法向量，故B错误；
对于C，因为直线的斜率，且，所以直线与直线垂直，故C正确；
对于D，点到直线的距离，故D正确.
故选：ACD.
10．【答案】ACD
【详解】对于，整理得，
所以解得所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，当时，直线为，
则圆心到直线的距离，而圆的半径为2，
所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误；
对于C，曲线整理得，
当时，曲线是圆心为，半径为的圆，
圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确；
对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，
即
圆两圆的公共弦的方程为，
整理得解得
直线经过点.故D正确.
故选：ACD
11．【答案】ABD
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误；
对于D，设，
，
因此，故D正确.
故选：ABD.
12．【答案】
【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】圆，整理得，则的圆心为，
由题意得直线过圆心，所以，
又，所以.
（当且仅当时，取“）.此时直线方程为，即.
故答案为:.
14．【答案】
【详解】已知点在椭圆上，可得，所以，
又因为直线的斜率，所以的方程为.
设，联立方程组消去得，可得，
所以，
点到直线的距离，
所以.
故答案为:.
15．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
故所求直线的倾斜角为，直线斜率为，
所求直线的方程为，即.
（2）设关于直线对称的点为，
则解得
因为反射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
故反射光线所在直线方程为，即.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）将化为一般式方程，得，
,则两直线平行，
故两直线的距离为，
因为，所以和两直线垂直.
因为的斜率为，所以.
又因为直线经过原点，所以直线的方程为.
（2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为，
即
所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，
因为点到直线的距离为.
所以点到原点的最短距离为.
17．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设所求的圆的方程是，其中，
把已知三点坐标代入得方程组解得
所以圆的一般方程为.
故圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5.
所以圆心到直线的距离
解得或，所以直线的方程为：或.
18．【答案】(1)
(2)存在满足条件的圆，其方程为
【详解】（1）设为椭圆上任意一点，则，，
则.
则.故.
（2）由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在.
又直线的方程为，即为，
同理直线的方程为.

则，故.
而，故，又因为.
故，同理：.
故直线的方程为.
若直线与圆相切，则，令.
故，即.
故或或，
因为，所以不满足，
故存在满足条件的圆，其方程为
19．【答案】(1)的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆
(2)证明见解析
【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线的斜率，
同理，直线的斜率，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程为，
即点的轨迹是除去两点的椭圆.
（2）设
如图：
①当直线斜率不存在时，可知，
且有，
解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为，
②当直线斜率存在时，设直线，则
.
联立直线方程与椭圆方程，
消去可得：，
根据韦达定理可得：，
所以，
即
整理得：，
所以，则或，
当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去，
故，直线恒过原点，
结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证.