2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y+4=0的倾斜角是( )
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
2.已知直线3x+2y−3=0和6x+my=0互相平行，则它们之间的距离是( )
A. 3 1313B. 1313C. 53D. 3
3.已知圆M经过P(1,1)，Q(2,−2)两点，且圆心M在直线l：x−y+1=0，则圆M的标准方程是( )
A. (x−2)2+(y−3)2=5B. (x−3)2+(y−4)2=13
C. (x+3)2+(y+2)2=25D. (x+3)2+(y−2)2=25
4.已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
5.已知圆C：x2+y2=1，则经过圆C内一点P(−13,23)且被圆截得弦长最短的直线的方程为( )
A. 3x−6y−5=0B. 3x−6y+5=0C. x−y+1=0D. 6x−3y+4=0
6.点M与定点F(4,0)的距离和它到定直线x=254的距离之比是常数45，则M的轨迹方程为( )
A. x24+y29=1B. x29+y23=1C. x225+y29=1D. x225+y216=1
7.已知M是椭圆x225+y29=1上一点，则点M到直线l：4x−5y+40=0的最小距离是( )
A. 5 4141B. 6 4141C. 15 4141D. 18 4141
8.已知椭圆C：x225+y216=1的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点，则|PF|2+6|QF|的取值范围为( )
A. [2,26]B. [51,52]C. [51,76]D. [52,76]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：y= 3x+1，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的一个方向向量为(1, 3)
B. 直线l的一个法向量为( 3,1)
C. 若直线m：x+ 3y+1=0，则l⊥m
D. 点( 3,0)到直线l的距离是2
10.已知直线l：(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)，圆C是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是( )
A. 直线l恒过定点(−3,3)
B. 当m=0时，圆C上有且仅有两个点到直线l的距离都等于1
C. 若圆C与曲线x2+y2−6x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=16
D. 当m=13时，过直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点(−169,−49)
11.已知椭圆C：2x2+3y2=24的长轴端点分别为A1，A2、两个焦点分别为F1、F2，P是C上任意一点，则( )
A. C的离心率为 33B. △PF1F2的周长为4( 3+1)
C. △PA1A2面积的最大值为4 2D. PF1⋅PF2>0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程x22−k+y2k−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．
13.已知圆x2−4x+y2−2y=5关于直线2ax+y+b−3=0(a,b为大于0的数)对称，则1a+1b的最小值为______，此时直线方程为______．
14.椭圆C：x22+y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P(1, 22)在C上，直线l过左焦点F1，且与椭圆C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为60°，则△ABF2的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知直线l过定点(1,2)，且其倾斜角是直线3x− 3y+3=0的倾斜角的二倍，求直线l的方程；
(2)已知入射光线经过点M(−3,4)，且被直线l：x−y+3=0反射，反射光线经过点N(2,6)，求反射光线所在直线的方程．
16.(本小题15分)
已知直线l1：3x+4y−7=0，l2：3x+4y+8=0，点A和点B分别是直线l1、l2上一动点．
(1)若直线AB经过原点O，且|AB|=3，求直线AB的方程；
(2)设线段AB的中点为P，求点P到原点O的最短距离．
17.(本小题15分)
已知圆C过三点(1,3)，(−2,2)，(4,2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN为等腰直角三角形，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知圆C：(x−1)2+y2=r2(r>0)在椭圆E：x24+y2=1里.过椭圆E上顶点P作圆C的两条切线，切点为A，B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．
(1)求r的取值范围；
(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知两个定点A(− 3,0),B( 3,0).动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积是−13
(1)求动点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
(2)记(1)中P点的轨迹为曲线C，不经过点A的直线l与曲线C相交于E，F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是−13，求证：直线l恒过定点．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.ACD
10.ACD
11.ABD
12.(1,32)
13.92 2x+3y−7=0
14.4 67
15.解：(1)∵直线3x− 3y+3=0的斜率为 3，∴直线的倾斜角为π3，
直线l过定点(1,2)，且其倾斜角是直线3x− 3y+3=0的倾斜角的二倍，
故所求直线的倾斜角为2π3，直线斜率为k=− 3，
∴所求直线的方程为y−2=− 3(x−1)，即 3x+y−2− 3=0．
(2)设M(−3,4)关于直线l：x−y+3=0对称的点为M′(a,b)，
则b−4a+3=−1,a−32−b+42+3=0,解得a=1,b=0,
∴M′(1,0)，
∵反射光线经过点N(2,6)，
∴NM′所在直线的斜率为k=6−02−1=6，
故反射光线所在直线方程为y=6(x−1)，即6x−y−6=0．
16.解：(1)由题得两直线的距离为|8+7| 32+42=3=|AB|，
所以AB和两直线垂直，
因为l1、l2的斜率为−34，
所以kAB=43，
所以直线AB的方程为y=43x；
(2)因为l1、l2互相平行，所以线段AB的中点P的轨迹为3x+4y+8−72=0，即3x+4y+12=0，
所以点P到原点O的最短距离即点O到直线3x+4y+12=0的距离，
因为点O到直线3x+4y+12=0的距离为|12| 32+42=110，
所以点P到原点O的最短距离为110．
17.解：(1)设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2−4F>0，
又圆C过三点(1,3)，(−2,2)，(4,2)，
则10+D+3E+F=08−2D+2E+F=020+4D+2E+F=0，
解得D=−2E=4F=−20，
所以圆C的一般方程为x2+y2−2x+4y−20=0，
故圆C的标准方程为(x−1)2+(y+2)2=25．
(2)设直线l的方程为：x−y+c=0，
因为△CMN为等腰直角三角形，
又由(1)知圆C的圆心为(1,−2)，半径为5．
所以圆心到直线的距离d=5× 22=|c+3| 2，
即|c+3|=5，
即c=2或−8，
所以直线l的方程为：x−y+2=0或x−y−8=0．
18.解：(1)设T(x0,y0)为椭圆E上任意一点，则x024+y02=1，−2≤x0≤2，
则|TC|2=(x0−1)2+y02=34x02−2x0+2．
因为圆C在椭圆E内，则r2