河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
若经过 A m, 2 ， B 1, 2m 1 两点的直线的倾斜角为135 ，则m  （ ）
4
2
4
3
D．2
已知直线l ： y  1 m2  x 1（ m 为常数， m  R ），则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）
A．  π , π 
B．  π , π 
C．  π , π 
D．  π , π 

 4 2 

 4 2 
 4
 4


已知a  R ，直线l1 : ax  y 12  0 的方向向量与直线l2 : a  3 x  4 y 16  0 的方向向量共线，则这两条
直线之间的距离为（ ）
2
A．4B． 8
2
C． 4
2
D． 2
已知a  0, b  0 ，直线l : a 1 x  y 1  0, l : x  2by 1  0 ，且l  l ，则 2  1 的最小值为（ ）
1212ab
A．2B．4C．8D．16
若直线l : ax  by  4  0 与圆O : x2  y2  4 相离，则点 P(a, b) （ ）
在圆 O 外B．在圆 O 内C．在圆 O 上D．与圆 O 的位置关系不确定
已知Q 为直线l : x  2 y 1  0 上的动点，点 P 满足QP  1, 3 ，记 P 的轨迹为 E ，则（ ）
5
E 是一个半径为的圆
E 是一条与l 相交的直线
5
E 上的点到l 的距离均为.
E 是两条平行直线
已知圆C 的方程为 x2  y2  2 y  1  0 ， P a, b 为圆C 上任意一点，则 2a  b  5 的取值范围为（ ）
a  2
A．1, 2 C． 1, 3
B． , 12, 
D． ,13, 
在平面直角坐标系内，点 O 是坐标原点，动点 B，C 满足| OB || OC |
–––→
中点，P 为圆(x  3)2  ( y  4)2  4 任意一点，则 AP 的取值范围是（ ）
2 ， OB  OC  0 ，A 为线段 BC
A． 2,8
B． 3,8
C． 2, 7
D． 3, 7
二、多选题
已知直线l1 : ax  (a  3) y  a  0, l2 : x  2ay  a 1  0 ，则（ ）
若l
 l ，则a   7
若l ∥l ，则a  3 或a  1
122122
若l 与l 相交于点(1, 0) ，则a  2D．若a  1 ，则l 在两坐标轴上的截距相等
1222
已知点 P(4m  3, 3m  4) ，若点Q 在圆C ： (x 1)2  y2  1上，则（ ）
点 P 在直线3x  4 y  7  0 上B．点 P 可能在圆C 上
C． PQ 的最小值为 1D．圆C 上至少有 2 个点与点 P 的距离为 1
已知圆O : x2  y2  4 和圆M : x2  y2  4x  2 y 1  0 相交于A ， B 两点，下列说法正确的是（ ）
圆O 与圆M 有两条公切线
圆O 与圆M 关于直线 AB 对称
线段 AB 的长为 11
2
5
E ， F 分别是圆O 和圆M 上的点，则| EF | 的最大值为4 
三、填空题
经过两条直线l1 : x  y  2,l2 : 2x  y  1 的交点，且直线的一个方向向量为v  (6, 4) 的直线方程为.
若方程ax2  by2  bx  4 y  a  0 表示一个圆，则 b 的取值范围为.
若圆C : x2  y2  r 2 (r  0) 与曲线 y | x | 2 有两个公共点，则r 的取值范围为.
四、解答题
过原点 O 的直线 l 与圆C : (x 1)2  y2  4 交于 A，B 两点，且点 P(3, 2) ．
过点 P 作圆 C 的切线 m，求切线 m 的方程；
求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程．
已知圆O1 的方程为(x 1)2  y2  4 .
若圆O2 与圆O1 关于直线3x  4 y 1  0 对称，求圆O2 的方程；
2
若O2 3, 2 ，圆O2 与圆O1 交于A ， B 两点，且 AB  2
已知直线l : x  2 y  8  0 和点 A(2，0)，B(2， 4) ．
在直线 l 上求一点 P，使| PA |  | PB | 的值最小；
在直线 l 上求一点 P，使| PB |  | PA | 的值最大；
，求圆O2 的方程.
若点 B 的坐标变为(2, 4) ，再分别求（1），（2）问中的结果．
已知圆C 过 A4,1, B 0,1, M 2, 3 三点，直线l : y  x  2 ．
求圆C 的方程；
求圆C 关于直线l 对称的圆C 的方程；
若 P 为直线l 上的动点， Q 为圆C 上的动点， O 为坐标原点，求| OP |  | PQ |的最小值．
已知圆 C 与直线 x 
3y  2  0 相切于点1, 3 ，且圆心 C 在 x 轴的正半轴上.
求圆 C 的方程；
过点 A(1, 0)作直线交圆 C 于 M，N 两点，且 M，N 两点均不在 x 轴上，点 B 4, 0 ，直线 BN 和直线 OM
交于点 G.证明：点 G 在一条定直线上，并求此直线的方程.
答案
2x  3y  5  0
  4 3 , 0   0 4 3 
3 ， 3 

 2∪ 2, 
15．（1）由题知圆心C 1, 0 ，半径r  2 ，当直线斜率不存在时，直线方程为 x  3 ，
此时圆心到直线的距离 3 1  4  2 ，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 y  2  k  x  3 ，即kx  y  3k  2  0 ，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
B
C
C
A
BC
AC
题号
11
答案
ABD
圆心到直线的距离d 
 r  2 ，即d  4k  2  2 ，
k  0  3k  2

1 k 2

1 k 2
整理得12k 2 16k  0 ，解得k  0 或k   4 ，
3
所以切线m 的方程为 y  2 或4x  3y  6  0 ．
（2）设M  x, y  ，圆心C 1, 0 ，
因为 M 弦 AB 的中点，所以CM  AB， 又直线 l 过原点 O，所以CM  OM ， CM   x 1, y , OM   x, y  ，
CM  OM   x 1, y  x, y   x  x 1  y2  0 ，

整理得 x 

1 2

2

 y2  1 ，
4

所以 M 的轨迹方程为 x 

1 2

2

 y2  1 ．
4
16．（1）圆O1 的方程为(x 1)2  y2  4 ，则圆心O1 1, 0 ，半径r1  2 ，
设点O1 1, 0 关于直线3x  4 y 1  0 对称的点O2 a, b ，
b  0   3   1a  13
 a 1  4 
25
则
，解得，
3 a 1  4  b 1  0
b   16
22
13 2
25
16 2
所以圆O2 的方程为 x  25    y  25 
 4 .

（2）设圆O 的方程为 x  32   y  22  r2 （ r  0 ），圆O 的方程为(x 1)2  y2  4 ，
2
2
1
因为圆O 与圆O 相交，则 r  2 
3 12  22
 2
1
2
 r  2 ，所以2
2
 2  r  2  2 2 ，
可得两圆的方程相减，即为两圆公共弦 AB 所在的直线的方程即4x  4 y  r2  16  0 ，
42  42
4  r2  16
4 2
r2  12
可得O1 到直线 AB 的距离d ，
4  d 2
由弦长| AB | 2
 2
2
2
4 2
r2  12

，可得d 2  2 ，即  2 ，可得r2  4 或r2  20 ，

2
所以圆O 的方程为：  x  32   y  22  4 或 x  32   y  22  20 . 17．（1）设点 A 关于直线 l 对称点为 A1 (m, n) ，
 n  0  1  1

 m  2 2
则 m  2
 n  0 
m  2
，解得n  8
，即 A1 (2,8) ，
 2   8  0
 2
 2 
因为点 P 在直线 l 上运动，
所以| PA |  | PB || PA1 |  | PB || A1B | ，当且仅当 B, P, A1 三点共线时等号成立，此时| PA |  | PB | 的最小值等于| A1B | ，即点 P 为直线 A1B 与直线 l 的交点， 因为 A1 (2,8) ， B(2， 4) ，
易得直线 A1B 的方程为 x  2 ，
x  2x  2
联立x  2 y  8  0 ，解得 y  3 ，

所以交点 P(2,3)
因为点 A、B 在直线 l 同侧，且点 P 是直线 l 上一点， 所以 | PB |  | PA |  AB ，当且仅当 B, A, P 三点共线时等号成立，
此时| PB |  | PA | 的最大值为 AB ，
即 P 为直线 AB 与直线 l 的交点，因为 A(2，0)，B(2， 4) ，
所以kAB
 4  0  1 ，
2  2
所以直线 AB 方程为 y  x  2 ，
 y  x  2x  12
联立x  2 y  8  0 ，解得 y  10 ，

故所求点 P 的坐标为(12,10)
若点 B 的坐标变为(2, 4) ，此时 A、B 在直线 l 的两侧，且 P 为直线 l 上一点，所以| PA |  | PB || AB | ，当且仅当 B, A, P 三点共线时等号成立，
即点 P 为直线 AB 与直线 l 的交点，因为 A ( 2，0 )， B (  2，4 ) ，
所以kAB
 4  0
2  2
 1 ，
所以直线 AB 的方程为 y  0  (x  2) ，即 y  x  2 ，
x   4
 y  x  23
联立x  2 y  8  0 ，解得10 ，

 y 
3
故使| PA |  | PB | 的值最小时，P 点坐标为  4 , 10  .
 3 3 

由（1）可知点 A 关于直线 l 的对称点为 A1 (2,8) ，且 P 为直线 l 上一点，所以| PB |  | PA |  | PB |  | PA1 |  A1B ，
当且仅当 B, P, A1 三点共线时，等号成立，此时| PB |  | PA | 取得最大值 A1B ，
即点 P 为直线 A1B 与直线 l 的交点，因为 A1 (2,8) ， B(2, 4) ，
易得直线 A1B 的方程为 x  2 ，
x  2x  2
所以x  2 y  8  0 ，解得 y  3 ，

所以交点 P(2,3)
18．（1）设圆的方程为 x  a2   y  b2  r 2 r  0 ，代入 A4,1, B 0,1, M 2, 3 ，

4  a2  1 b2  r 2

则a2  1 b2  r 2
222
a  2

，解得b  1 ，
r  2
2  a
 3  b  r
所以圆C 的方程为 x  22   y 12  4 ；
（2）设Cm, n ，
 n 1 1  1

由对称关系可知 m  2
n 1
m  2
，解得m  1，所以C1, 4 ，
 
n4
 2
 22
又因为对称圆的半径不变，
所以C 的方程为 x 12   y  42  4 ；
（3）因为 OP  PQ  OP  PC  2 ，
116
17
由（2）可知C 关于直线l 的对称点为C ，所以 OP  PC  OP  PC  OC 
17
当且仅当O, P, C 共线时取等号，
，
所以 OP  PQ 
17  2 ，即 OP  PQ 的最小值为
 2 .
19．（1）由圆心 C 在 x 轴的正半轴上设圆心C a, 0a  0 ，
又圆 C 与直线 x 
3y  2  0 相切于点1, 3 ，则 3  0  

1 a
，解得a  2 ，
3
2 12  0 
3 2
所以C 2, 0 ，半径r  2 ，所以圆 C 的方程为：  x  22  y2  4 .
（2）设M  x1 , y1  ， N  x2 , y2  ，直线 MN 方程为： x  my 1 ，
 x  22  y2  4
联立
x  my 1
得m2 1 y2  2my  3  0 ，
Δ  2m2 12 m2 1  16m2 12  0 ， y  y
 2m ， y y
 3 ，
12m2  11 2m2 1
直线 OM 方程为： y  y1 x ，直线 BN 方程为： y 
x1
 y  y1 x
y2 x2  4
 x  4 ，
3m  y
3m  y
x1
4x y
4my y
 4 ym2 12
m2 12
联立
，可得 x  1 2  1 22  4
 2 3m
 2 ，
 y 

y2
x  4
 x  4
x1 y2  x2 y1  4 y13y1  y2
3 y1  y2   2 y2
m2 1
 y2
2
所以点 G 在直线 x  2 上.