2025-2026学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期十月半月考数学试卷（理科）（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期十月半月考数学试卷（理科）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l过点-1,2且与直线2x-3y+1=0垂直，则l的方程为( )
A. 3x+2y-1=0B. 3x+2y+7=0C. 2x-3y+5=0D. 2x-3y+8=0
2.已知椭圆C:x2a2+y28=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，若AF1⊥AF2，则C的长轴长为( )
A. 8 2B. 4 2C. 8D. 4
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，PF1的最大值为3，且PF1+PF2=2F1F2，则椭圆的标准方程为( )
A. x24+y2=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x28+y24=1
4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆E上位于第一象限内的一点，若PF1=3PF2，|OP|=OF2(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为( )
A. 54B. 64C. 22D. 104
5.M点是圆C:x+22+y2=1上任意一点，AB为圆C1:x-22+y2=3的弦，且AB=2 2，N为AB的中点.则MN的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知椭圆x24+y23=1，一组斜率32的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为( )
A. y=12xB. y=-2xC. y=-12xD. y=2x
7.已知圆C：x2+y-a2=8(a∈R)和两点A2,0，B0,2.若圆C上存在四个不同的点P，使得▵ABP的面积为2，则a的取值范围是( )
A. -4,0B. 0,4C. -4,4D. -4,8
8.已知点P在以F1，F2为左、右焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，椭圆内存在一点Q在PF2的延长线上，且满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=45，则该椭圆离心率取值范围是( )
A. 13, 53B. 12, 53C. 53,1D. 0, 53
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述错误的是( )
A. mx+4y-12=0m∈R恒过定点0,3
B. 若直线l1:2mx-y+1=0与l2:m-1x+my+2=0互相垂直，则实数m=32
C. 已知直线l1:ax+y-1=0与l2:x+ay-a2=0平行，则a=1或-1
D. 设直线l的方程为y-xcsθ+3=0θ∈R，则直线l的倾斜角α的取值范围是π4,3π4
10.(多选)已知点A，B是圆C:(x-2)2+y2=1上的两个动点，圆C1:x2+y2=1，点P是直线l:x+y=0上的动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB=0，下列说法正确的是( )
A. 直线x=1是圆C与圆C1的公切线B. ｜ PA｜的最小值为 2-1
C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点32,-12
11.已知F1，F2分别为椭圆C：x24+y23=1的左，右焦点，A为C的上顶点，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则( )
A. 椭圆C的焦距为2B. DE=4813
C. ▵ADE的面积为1+ 3D. ▵ADE的周长为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程x24+m+y22-m=1表示椭圆的充要条件是 ．
13.已知P(x,y)在直线x+y=0上，M，N为线段y=2-x(1≤x≤2)的两个端点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，左顶点是A，左、右焦点分别是F1，F2，M是C在第一象限上的一点，直线MF1与C的另一个交点为N.若MF2//AN，且▵ANF2的周长为278a，则直线MN的斜率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知两直线l1:x+y+2=0和l2:3x-2y+1=0的交点为P．
(1)直线l过点P且与直线x+3y+1=0平行，求直线l的一般式方程；
(2)圆C过点1,0且与l1相切于点P，求圆C的一般方程．
16.(本小题15分)
已知圆C过点A(2,6)，圆心在直线y=x+1上，截y轴弦长为2 5．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C半径小于10，点D在该圆上运动，点B(3,2)，记M为过B、D两点的弦的中点，求M的轨迹方程；
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点，上顶点，若C的离心率为 32，且O到直线AB的距离为25 5．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，求证：1k1+1k2为定值，并求出该定值；
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0焦距为6，且椭圆C上任意一点(异于长轴端点)与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值-716．
(1)求曲线C的方程；
(2)过右焦点F2作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记▵OMN的面积为S，求S的最大值．
19.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B且焦距为2，上顶点为M，且直线MA,MB的斜率之积为-34．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设直线l1不经过M点且与E相交于P、Q两点，kPAkBQ=3
(i)证明：直线l1过定点G；
(ii)设H为①中点G关于y轴的对称点，过点H作直线l2交于椭圆E于C、D两点，且l1⊥l2，求四边形PCQD面积的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.C
7.B
8.B
9.BCD
10.AD
11.ABD
12.m∈-4,-1∪-1,2
13. 10
14. 52
15.解：(1)直线l与直线x+3y+1=0平行，故设直线l为x+3y+C1=0，
联立方程组x+y+2=03x-2y+1=0，解得x=-1y=-1．
∴直线l1:x+y+2=0和l2:3x-2y+1=0的交点P-1,-1．
又直线l过点P，则-1-3+C1=0，解得C1=4，
即直线l的方程为x+3y+4=0．
(2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
l1:x+y+2=0的斜率为-1，故直线CP的斜率为1，
由题意可得(-1-a)2+(-1-b)2=r2(1-a)2+(0-b)2=r2b+1a+1=1,
解得a=-16b=-16r2=2518,
故所求圆的方程为x+162+y+162=2518．
化为一般式：x2+y2+13x+13y-43=0．

16.解：(1)因为圆心在直线y=x+1上，设圆心为Ca,a+1，设圆C的半径为r，
圆心到y轴的距离为a，且圆C截y轴弦长为2 5，则r2=a2+5，①
且有r=AC= a-22+a-52②，
联立①②可得a=2r=3或a=12r= 149,
所以，圆C的方程为x-22+y-32=9或x-122+y-132=149．
(2)因为C半径小于10，则圆C的方程为x-22+y-32=9，
由圆的几何性质得CM⊥MD，即CM⊥BM，所以CM⋅BM=0，
设Mx,y，则CM=x-2,y-3，BM=x-3,y-2
所以x-2x-3+y-3y-2=0，即M的轨迹方程是x-522+y-522=12．

17.解：(1)设椭圆C的焦距为2cc>0，
因为椭圆C的离心率为 32，所以ca= 32，即c2=34a2，
据a2-b2=c2，得a2-b2=34a2，即a=2b．
所以直线AB的方程为x2b+yb=1，即x+2y-2b=0，
因为原点O到直线AB的距离为25 5，
故-2b 12+22=25 5，解得b=1，
所以a=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(2)设直线l的方程为y-1=kx-2，其中k>14，且k≠1，即y=kx-2k+1，
设直线l与椭圆C交于点Mx1,y1,Nx2,y2，
联立方程组y=kx-2k+1,x24+y2=1,整理得4k2+1x2-16k2-8kx+16k2-16k=0，
所以x1+x2=16k2-8k4k2+1，x1x2=16k2-16k4k2+1，
所以1k1+1k2=x1y1-1+x2y2-1=x1kx1-2+x2kx2-2=1k⋅x1x1-2+x2x2-2
=2k⋅x1x2-x1+x2x1-2x2-2=2k⋅x1x2-x1+x2x1x2-2x1+x2+4
=2k⋅16k2-16k4k2+1-16k2-8k4k2+116k2-16k4k2+1-2×16k2-8k4k2+1+4=2k⋅-8k4k2+144k2+1=-4为定值，得证；

18.解：(1)由题意知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0焦距为6，即2c=6,c=3，
设椭圆C上任意一点(异于长轴端点)P(x0,y0),y0≠0，则x02a2+y02b2=1，
长轴的两顶点坐标为(a,0),(-a,0)，由题意得y0x0+a⋅y0x0-a=-716，
即y02x02-a2=-716，则b2a2(a2-x02)x02-a2=-716，
即b2a2=716，结合c=3,∴a2=9+b2，解得a2=16,b2=7，
故曲线C的方程为x216+y27=1；
(2)由题意知直线的斜率不为0，F2(3,0)，设直线l方程为x=my+3，
设Mx1,y1,Nx2,y2，联立x=my+3x216+y27=1,
得7m2+16y2+42my-49=0，由于直线l过椭圆焦点，必有Δ>0，
则y1+y2=-42m7m2+16，y1y2=-497m2+16，
故S=12|OF2|⋅|y1-y2|=12×3× y1+y22-4y1y2
=32 -42m7m2+162+4×497m2+16
=84 m2+17m2+1+9=847 m2+1+9 m2+1≤842 7 m2+1⋅9 m2+1=846 7=2 7，
当且仅当7 m2+1=9 m2+1，即m=± 147时取等号，
故S的最大值为2 7．

19.解：1)由题意有A-a,0，Ba,0，
设M(x,y)，kMA⋅kMB=yx+a⋅yx-a=-34，化简得x2a2+4y23a2=1，结合x2a2+y2b2=1，
可得b2=34a2，
由椭圆焦距为2，有a2-b2=a2-34a2=14a2=1，得a2=4，b2=3，
椭圆E的标准方程为x24+y23=1；
(2)(i)由题意可知直线l1不过椭圆的右顶点，
故可设直线l1:mx-2+ny=1①，
椭圆方程整理为3x-2+22+4y2-12=0，
整理得：3x-22+4y2+12x-2=0②，
联立①②得：3x-22+4y2+12x-2mx-2+ny=0③，
设Px1,y1,Qx2,y2，这两点坐标都满足方程③，
y1x1-2=kPA,y2x2-2=kQA，
方程③两边同除以x-22得：3+4k2+12m+nk=0，
即4k2+12nk+3+12m=0，此方程的两根为kPA,kQA．
∵点P在椭圆上，∴kPAkPB=y1x1+2⋅y1x1-2=y12x12-4=31-x124x12-4=-34，
又∵kPAkBQ=3，∴kQAkQB=-14，∴3+12m4=-14，∴m=-13，
∴直线l1:-13x-2+ny=1，l1:x=3ny-1，与x轴交点坐标为-1,0，
∴直线l1恒过定点G-1,0．
(ii)G-1,0关于原点的对称点为H1,0．
当直线l1的斜率不为零时，设其方程为l1:x=λy-1．
将直线l1:x=λy-1代入椭圆E的标准方程为x24+y23=1，
整理得：(3λ2+4)y2-6λy-9=0，Δ=122λ2+1，
PQ= 1+λ2y1-y2= 1+λ2 Δ3λ2+4=12(λ2+1)3λ2+4，同理得CD=121λ2+13λ2+4．
又∵l1⊥l2，∴四边形PCQD面积为：
12PQCD=6×24+12λ2+1λ225+12λ2+1λ2=61-125+12λ2+1λ2∈28849,6，当λ=±1时，取到28849，
又∵当直线l1的斜率为零时，必经过椭圆的左右顶点，与题意矛盾，
∴四边形PCQD面积的取值范围是28849,6．