河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月半月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可
【详解】由题意斜率，
解得：，
故选：D
2. 已知直线：（为常数，），则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程求出斜率，利用斜率的范围求出倾斜角的范围.
【详解】设直线倾斜角为，
则，又，
所以，
故选：A
3. 已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行可得的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】由题意可得，所以，解得，
故两直线方程分别为，，
故这两条平行线之间的距离为.
故选：B.
4. 已知，直线，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C.
5. 若直线与圆相离，则点（ ）
A. 在圆O外B. 在圆O内C. 在圆O上D. 与圆O的位置关系不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解.
【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部.
故选：B.
6. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆
B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为.
D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项即可得出正确答案.
【详解】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即的轨迹为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
7. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果.
【详解】由圆方程知：圆心，半径，
，
的几何意义是圆上的点与点连线的斜率，
设过点的圆的切线方程为：，即，
圆心到切线的距离，解得：，
，.
故选：C.
8. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得A为圆任意一点，设圆的圆心为M，从而得到为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．
【详解】由，则，
又，且A为线段中点，则，
所以A为圆任意一点，
设圆的圆心为M，则，
又，所以圆O与圆M相离，
所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以，
，
所以的取值范围为．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：依题意得的几何意义为圆与圆这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 若，则B. 若，则或
C. 若与相交于点，则D. 若，则在两坐标轴上的截距相等
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线平行和垂直条件求出参数a的值，可判断A，B；将代入的方程求出a，判断C；求出在两坐标轴上的截距判断D.
【详解】若，则，解得或，故A错误；
若，则，且，解得或，故B正确；
若与相交于点，则，解得，故C正确；
若，则在x轴和y轴上的截距分别为和，
显然截距不相等，故D错误．
故选：BC．
10. 已知点，若点在圆：上，则（ ）
A. 点在直线上B. 点可能在圆上
C. 的最小值为1D. 圆上至少有2个点与点的距离为1
【答案】AC
【解析】
【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C，直接由可知最小值为1；对于D根据选项C的结论即可判断.
【详解】对于选项A：点，代入直线得，故点直线上，A正确
对于选项B：圆心到直线的距离为，
故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆上，故B错误.
对于选项C：结合选项B可知，，故C正确
对于选项D：由选项C可知圆上只有1个点与点的距离为1，故D错误.
故选：AC
11. 已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 圆与圆有两条公切线
B 圆与圆关于直线对称
C. 线段的长为
D. ，分别是圆和圆上的点，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答案．
【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，即，其圆心为，半径，
依次分析选项：
对于A，由于，，又，所以两圆相交，故有两条共切线，A正确，
对于B，圆和圆的半径相等，则线段的垂直平分线为，则圆与圆关于直线对称，B正确，
对于C，联立，化简可得，即的方程为，
到的距离，则，C错误；
对于D，，则的最大值为，D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的交点坐标，由直线的方向向量得到直线斜率，求出直线方程.
【详解】联立可得，，故交点坐标为，
直线的一个方向向量为，故直线的斜率为，
所以直线方程为，即.
故答案为：
13. 若方程表示一个圆，则b的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的一般方程，可得，结合圆的一般方程中，代入数据即可求解
【详解】由方程表示一个圆，所以，则，根据圆的一般方程需满足，此处，
代入可得，解得且，所以.
故答案为：
14. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，
因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称，
所以只需研究与圆只有一个交点即可，
当与圆相切时，则，
当与圆相交时（只有一个交点），则，
综上可得的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．
（1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；
（2）求弦的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可；
（2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解．
【小问1详解】
由题知圆心，半径，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到直线的距离，即，
整理得，解得或，
所以切线的方程为或．
【小问2详解】
设，圆心，
因为M弦的中点，所以，
又直线l过原点O，所以，
，
，
整理得，
所以M的轨迹方程为．
16. 已知圆的方程为.
（1）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程；
（2）若，圆与圆交于，两点，且，求圆的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设点关于直线对称的点，则，解得、，即可求出圆的方程；
（2）设圆的方程为（），由两圆的位置关系求出的取值范围，再两圆方程作差得到公共弦方程，再由弦长求出，即可得解.
【小问1详解】
圆的方程为，则圆心，半径，
设点关于直线对称的点，
则，解得，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
设圆的方程为（），圆的方程为，
因为圆与圆相交，则，所以，
可得两圆的方程相减，即为两圆公共弦所在的直线的方程即，
可得到直线的距离，
由弦长，可得，即，可得或，
所以圆的方程为：或.
17. 已知直线和点．
（1）在直线l上求一点P，使的值最小；
（2）在直线l上求一点P，使的值最大；
（3）若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果．
【答案】（1）P点坐标为
（2）P点坐标为
（3）当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大
【解析】
【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案.
（2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案.
（3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案.
【小问1详解】
设点A关于直线l对称点为，
则，解得，即，
因为点P在直线l上运动，
所以，
当且仅当三点共线时等号成立，
此时的最小值等于，
即点P为直线与直线l的交点，
因为，，
易得直线的方程为，
联立，解得，
所以交点
【小问2详解】
因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点，
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
此时的最大值为，
即P为直线AB与直线l的交点，
因为，
所以，
所以直线AB方程为，
联立，解得，
故所求点P的坐标为
【小问3详解】
若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点，
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
即点P为直线AB与直线l的交点，
因为，
所以，
所以直线AB的方程为，即，
联立，解得，
故使的值最小时，P点坐标为.
由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，
此时取得最大值，
即点P为直线与直线l的交点，
因为，，
易得直线的方程为，
所以，解得，
所以交点
18. 已知圆过三点，直线．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称圆的方程；
（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值.
【小问1详解】
设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，
所以的方程为；
【小问3详解】
因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
19. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程；
（2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明.
【小问1详解】
由圆心C在x轴的正半轴上设圆心，
又圆C与直线相切于点，则，解得，
所以，半径，所以圆C的方程为：.
【小问2详解】
设，，直线MN方程为：，
联立得，
，，，
直线OM方程为：，直线BN方程为：，
联立，可得，
所以点G在直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：
①设直线方程，设交点坐标为，；
②联立直线与圆的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算；
③列出韦达定理；
④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式；
⑤代入韦达定理求解.