河北省衡水市安平中学2025-2026学年高一上学期9月第一次半月考数学试卷

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已知集合 A {x  N∣x 1}, B {x∣0  x  4}，则 AB  （）
{x∣1  x  4}
{x∣x  0}
2, 3
1, 2,3
设全集U  Z ，集合 A  1, 2,3, 4,5 ， B  1,3,5, 7,9 ，则图中阴影部分表示的集合是（）
1,3,5
1, 2,3, 4,5
7, 9
2, 4
“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
已知集合 A  1,3, a2 ， B  1, a  2，若 AB  A ，则实数a 的值为（ ）
A． 1B．0C．1D．2
 U A 
 U A  U
U B  A
已知全集U  N ，集合 A  x x  3k, k  N，B  x x  6k, k  N ，则正确的关系是（ ）
B  B
A． A
B． B
C． B
D．A 
已知集合 A {x R | x2  ax  2  0} 有且仅有 1 个真子集，则实数a 的取值集合为（ ）
2
A．a | 2
C．2 2
 a  2 2
B．2 2, 2 2
D．a | a  2 2或a  2 2
已知集合 A  1,2,3,4,5, B  x, y x  A, y  A, x  y  A,则集合 B 中则所含元素的个数为 （ ）
A.3B.6C.8D.10
U
已知集合U  x  N* x  6 ，若 A  U ，且同时满足：①若 x  A，则3x  A ；②若 x A ，则3x  U A .则集合A 的个数为（ ）
4B． 8C．16D． 20
二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
2
下列关系中，正确的是（）
1  R 4
C. －3∈N
Q
D.3 ∈Z
已知集合 A  1,1 ， B  x kx  1 ，且 B  A ，则实数k 的值可以为（）
1
B. 0C. 1D. 2
下列说法正确的是（ ）
x  y  6
方程组x  y  2 的解集是4, 2

4
若集合 A  x | ax2  x 1  0中只有一个元素，则a  1
“ ac  0 ”是“一元二次方程ax2  bx  c  0 有一正一负根”的充要条件
已知集合M  0, 4，则满足条件M  N  M 的集合 N 的个数为 4
三､填空题：每小题 5 分，共 15 分.
12 若集合x 1, x2与集合1, 0相等，则实数 x  .
一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100 名学生参加了数学考试，50 名学生参加了物理考试，48 名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的 2 倍，也是参加三门考试学生数的 3 倍，则学生总数为.


设 A，B 是 R 的两个子集，对于 x  R ，定义： m  0, x  A ， n  0, x  B ，
1, x  A1, x  B
①若 A  B ，则对任意 x  R, m1 m  ；
②若对任意 x  R, m  n  1，则 A，B 的关系为．
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
已知集合 A  x  N∣*
x  9， B  1, 2,3 ， C x  Z | 3  2x 1  9．
求 A  B ， A
B C  ；
求 B
 AC  ，  AB  AC  ．
已知集合 A  x 2  x  6， B  x m  2  x  m  2 ．
若 x  B 成立的一个必要条件是 x  A，求实数m 的取值范围；
若 AB  ，求实数m 的取值范围．
若集合 A  x x2  5x  6  0, B  x x2  2m  1x  m2  3  0.
若m  0 ,写出 A ∪ B 的子集;
若 B  R A  ,求实数m 的取值范围.
已知集合 A x a 1  x  3  2a，B  x x2  2x  8  0．
若a  0 ，求 A  B ;
若 AB  B ，求实数a 的取值范围；
若 x  B 是 x  A的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
若集合A 中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即
A {x | x  m2  n2, mZ, n  Z} ，则称集合A 为“弦方集”
分别判断5 ，15 ， 25 ，169 是否为弦方集中的元素；
已知集合A 为弦方集，且a  A ，正整数b 能表示为某个整数的平方，证明：ab  A；
已知集合A 为弦方集，集合 B {x | x  4k  3, k  Z}，证明： AB  .
【详解】由题意， A I
B  {x  N∣1  x  4}  2, 3 故选：C
【答案】D
【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为ðA  A ∩ B ，然后根据集合的基本运算即可求解．【详解】解：∵全集U  Z ，集合 A  1, 2, 3, 4, 5 ， B  1, 3, 5, 7, 9 ，
∴ A ∩ B  1,3, 5 ，∴ ðA  A ∩ B  2, 4 ．故选：D．
【详解】将 x  1 代入 x2  4x  3  0 中可得1 3  2  0 ,即“ x  1 ”是“ x2  4x  3  0 ”
的充分条件；
由 x2  4x  3  0 可得 x 1 x  3  0 ,即 x  1 或 x  3 ,所以“ x  1 ”不是 “ x2  4x  3  0 ”的必要条件,故选:A.
【详解】因为 A  1, 3, a2 ， B  1, a  2且 A ∪ B  A ，
所以 B  A ，则a  2  3 或a  2  a2 ，解得a  1 或a  2 或a  1 ，
当a  1 或a  1 时a2  1，此时集合A 不满足集合元素的互异性，故舍去；当a  2 时 A  1,3,4 ， B  1,4 ，满足 A ∪ B  A ，符合题意.
故选：D.
【答案】B【分析】根据题意先判断集合A 与集合 B 的基本关系，再逐项验证即可.
【详解】由 A  x x  3k, k  N ，当k  2n, n  N ， A  x x  6n, n  N ，所以 A  B ，当k  2n 1, n  N ， A  x x  6n  3, n  N ，所以 B  A ，所以 A ∪ B  A ，故 A 错误； B ðU A   ，故 B 正确；由 B  A ，所以 B  ðU A  U ，故 C 错误；
因为 B  A ，所以 A ðU B  A ，故 D 错误.故选：B.
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合A 中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个
相等根问题求解即可.
【详解】由集合 A  {x  R | x2  ax  2  0} 有且仅有 1 个真子集，可得集合A 中有且只有一个元素，
所以方程 x2  ax  2  0 有 2 个相等的实数解，
即Δ  a2  8  0 ，解得a  2
所以实数a 的取值集合为2故选：B.
2 ，
2, 2
2 ，
【答案】B
答案【 D 】
解析本题考查列举法表示集合.由集合 B 的代表元素的特征可知,集合 B 表示一个点集.由题意可知: B  2,1, 3,2, 3,1, 4,3, 4,2, 4,1, 5,4, 5,3, 5,2, 5,1,共有 10 个元素.
∴选择答案【 D 】.
【答案】C
【分析】分析可知，1、3 不同在集合A 或ðU A 中， 2 、6 不同在集合A 或ðU A 中，而4 、5
无限制，列举出满足条件的集合A ，即可得解.
【详解】因为U  x  N* x  6  1, 2, 3, 4, 5, 6 ， A  U ，由题意可知，若1 A ，则3 A ，若1 ðU A ，则3 ðU A ，
若2  A ，则6  A ，若2  ðU A ，则6  ðU A ， 4 、5 没有限制，
综上所述，满足条件的集合A 可为：1, 2、1, 2, 4 、1, 2, 5 、1, 2, 4, 5、1, 6 、
1, 6, 4、1, 6, 5 、1, 6, 4, 5 、2, 3 、2, 3, 4、2, 3, 5 、2, 3, 4, 5 、3, 6 、
3, 6, 4 、3, 6,5 、3, 6, 4, 5 ，共16 个，故选：C.
【详解】根据常见数集的范围： 1  R ，故 A 正确；
2
4
2
不是有理数，所以
Q.故 B 正确；
N 为自然数集合，所以－3N.故 C 错误；
3 为无限不循环小数，所以 3  Z .故 D 错误.故选：AB
【详解】由题意，集合 A  1,1 ， B  x kx  1 ，且 B  A ，当 k  0 时，集合 B   ，满足 B  A ，符合题意；
当 k  0 时，集合 B   1  ，要使得 B  A ，则满足 1  1或 1  1 ，解得k  1或 k  1 ，
k

 kk
结合选项，实数 k 的值可以为1, 0,1 .
a
对于 D，由M  N  M 可知 N 是集合M  0, 4 的子集，
所以集合 N 可以是，0 ，4 ，0, 4共 4 个，故 D 正确.故选：CD.
即 c  0 ，也即ac  0 ，所以必要性成立，故 C 正确；
对于 C，由ac  0 可知一元二次方程ax2  bx  c  0 的判别式  b2  4ac  0 ，
即该方程有两根，且两根之积 c  0 ，即两根异号，所以充分性成立；
a
若一元二次方程ax2  bx  c  0 有一正一负根，可知两根之积为负，
4
4
当a  0 时，需满足  1 4a  0 ，可得a  1 ，因此a  0 或a  1 ，故 B 错误；
对于 B，当a  0 时， x 1  0 ，解得 x  1 ，此时集合 A  1 ，满足题意；
，所以解集为4, 2 ，故 A 错误；
 y  2
，解得
x  y  6
x  4
x  y  2
【详解】对于 A，因为
可判断 D.
4
得a  0 或a  1 可判断 B；利用韦达定理可判断 C；由M  N  M 可得 N 是集合M 的子集
11 【答案】CD
【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断 A；对参数a 是否为零进行分类讨论可
故选：ABC.
12 【答案】 1或0
【详解】因为集合x 1, x2 与集合1, 0相等， 所以当 x 1  1时， x  0 ，则 x2  0 ，符合题意；
当 x 1  0 时， x  1 ，则 x2  1 ，符合题意.
故 x  0 或 x  1 .故答案为： 1或0 .
13.详解】因为 M  N  M ，所以 M  N ，又 M 3,2,0,2,3 ， N  x x  m ，所以 m  3 ，则实数 m 的最大值为3 ，
故答案为： 3 .
13.【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为 x ， y ， z ；
参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为
c ， a ， b ；
同时参加了三门学科考试的学生数为m ，如图所示：
x  b  c  m  100

 y  c  a  m  50

根据题意可得z  a  b  m  48，
x  y  z  a  b  c  m  2  x  y  z   3m
前面三个等式相加，可得 x  y  z  2(a  b  c)  3m  198 ．
由第四个等式可得 x  y  z  3 m ， a  b  c  m ，
22
因此 3 m  m  3m  198 ， 2
14.【详解】①因为 A  B ，则当 x  A 时， m  0 ，所以m(1 n)  0 ，当 x  A 时，必有 x  B ，所以m  n  1，所以m(1 n)  0 ，
综上可得m(1 n)  0 ，
②对任意 x  R, m  n  1，则m ， n 的值一个为 0，另一个为 1，即 x  A 时，必有 x  B ，或 x  B 时，必有 x  A ，
所以 A，B 的关系为 A  ðR B ．
解得 m  36 ．因此学生总数为3m  108 ．故答案为：108.
故答案为：0； A  ðR B
15. 【详解】（1）由题意得， A  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ， B  1, 2, 3 ，
C  x  Z∣2  x  5  2,3, 4,5 ，所以 A ∩ B  1, 2, 3 ，
A ∩ B ∩ C   1, 2,3, 4,5,6,7,8∩2,3  2, 3 ．
（2）由题意得， ðA B  4,5, 6, 7,8， ðAC  1, 6, 7,8 ，所以 B ∩ ðAC   1 ，
ðAB  ∪ ðAC   1, 4, 5, 6, 7,8 ．
【答案】（1） 0, 4
（2）∞, 48, ∞
【解析】【分析】（1） x  B 成立的一个必要条件是 x  A ，则 B  A ，求解即可；
（2）由 A ∩ B   ，则 m  2  2 或 m  2  6 ，求解即可.
【小问 1 详解】
因为集合 A  x 2  x  6 ， B  x m  2  x  m  2 ．若 x  B 成立的一个必要条件是 x  A ，所以 B  A ，
m  2  2

则m  2  6 ，所以0  m  4 ，
故实数 m 的取值范围0, 4.
【小问 2 详解】
若 A ∩ B   ，则 m  2  2 或 m  2  6 ，所以 m  4 或m  8 ，
故实数 m 的取值范围∞, 48, ∞ .
解:（1）当 m  0 时, B  x x 2  2x  3  0  3,1.
∵ A  x x 2  5x  6  0  6,1
∴ A ∪ B   6,1,1.
∴其子集为: , 6, 1,1, 6,1, 6,1, 1,1, 6,1,1 ,共 8 个（ 23  8 ）;
（2）∵U  R, B  A  , ,∴ B  A .
分为两种情况:
当 B   时,符合题意,此时  2m  12  4m 2  3  0 ,解之得: m  2 ;
当 B   时,则 B   6或 B  1 或 B   6,1 :
若 B   6或 B  1 ,则  2m  12  4m 2  3  0 ,解之得: m  2 ,此时 B  1 ,符合题
意;
  2m  12  4m 2  3  0

若 B   6,1 ,则有 2m  1  6  1

m 2  3  6 1


 ，
2
 


；
（3）由 x  B 是 x  A 的充分不必要条件，可得 B  A ，

又 A  x a 1  x  3  2a，B  x  2  x  4，
a 1  3  2a①
则

a 1  2② ，且②③ 式等号不同时成立，解得a  1 ，
 3  2a  4③

故实数a 的取值范围是, 1．
 3  2a  4
18. 【详解】（1）当a  0 时， A  x 1  x  3，B  x x2  2x  8  0  x  2  x  4，所以 A ∩ B  {x | 1  x  3} ；
（2）因为 A  x a 1  x  3  2a，B  x  2  x  4，
所以由 A ∪ B  B ，得 A  B ，
① 当 A   时， a 1  3  2a ，解得a  4 ，满足题意；
3
② 当 A   时，则
a 1  3  2a

a 1  2
，解得 1  a  4 ，
 1

2
3
综上， a  
1
2
，故实数 的取值范围为
a
综上所述,实数 m 的取值范围为 ,2 .
,解之得:无解.
19. 【小问 1 详解】
因为5  12  22 , 25  32  42 ,169  02 132 ，所以5, 25,169 是弦方集中的元素.
不存在 m, n  Z ，使得15  m2  n2 ，所以15 不是弦方集中的元素.
【小问 2 详解】
依题意，集合A 为弦方集，且 a  A ，即存在 m, n  Z ，使得 a  m2  n2 ，正整数b 能表示为某个整数的平方，即存在 x  Z, b  x2 , b  0 ，
所以 ab  m2  n2  x2  mx2  nx2 , mx, nx  Z ，
所以ab 是弦方集中的元素，即 ab  A .
【小问 3 详解】
假设 A ∩ B   ，则存在 m, n  Z ， x0  4k  3, k  Z ，
使得4k  3  m2  n2 ，由于4k  3 是奇数，所以 m2  n2 是奇数，所以 m, n 一个是奇数，另一个是偶数，
不妨设 m  2s, s  Z, n  2t 1, t  Z ，
则 m2  n2  2s2  2t 12  4 s2  t 2  t  1，
而4k  3 除以4 的余数为3 ， 4 s2  t 2  t  1除以4 的余数为1，所以4k  3  m2  n2 ，与已知矛盾，所以 A ∩ B   .